Zad. z kwadratury?

[Majeskas]

Wyznaczyć taką trójkę liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b, c}\), żeby dla dowolnego wielomianu \(\displaystyle{ w}\) stopnia nie większego niż \(\displaystyle{ 2}\) spełniona była zależność
\(\displaystyle{ \int\limit_0^1w(x)x^2\,dx=aw(0)+bw(1/2)+cw(1)}\)

Zadanie pojawia się w związku z tematyką kwadratur. Rzecz w tym, że można je rozwiązać absolutnie gołymi rękami. Po prostu całkując, tworząc układ równań i rozwiązując go.
Zastanawiam się, czy to tak ma być i czy nie należałoby zrobić jakoś prościej/inaczej, posługując się wiedzą z kwadratur. Niestety, nic już z tego nie pamiętam.

[szw1710]

Twoja metoda jest całkiem poprawna. Możesz też spojrzeć na prezentację z mojego wystąpienia, jakie miałem na seminarium w Katowicach. Tam masz wyjaśniony mechanizm konstruowania kwadratur interpolacyjnych. Wypróbuj.

Kod: Zaznacz cały

https://www.dropbox.com/s/wx9xvnail8tjl

... e.pdf?dl=0

Jest też mój wykład w kompendium: 270811.htm

Jednak za lepsze uważam powyższe wystąpienie.