splajny - dowód

[adam4990]

\(\displaystyle{ a: R \rightarrow R}\) jest funkcją sklejaną stopnia 1 na węzłach \(\displaystyle{ x_{0}< x _{1}< ...< x_{n}}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ a}\) można zaprezentować jednoznacznie jako: \(\displaystyle{ a(x)=b+cx+ \sum_{j=0}^{n} d_{j}\left| x-x_{j} \right|}\), gdzie \(\displaystyle{ b,c, d_{j}}\) są pewnymi liczbami.

Z góry dziękuję za wskazówki!

[szw1710]

Każdy taki splajn można przedstawić jako kombinację liniową funkcji kapeluszowych (hat functions) (na podobieństwo wzoru interpolacyjnego Lagrange'a). Budujemy je tak: na przedziale \(\displaystyle{ [x_k,x_{k+2}]}\) łączymy punkty \(\displaystyle{ (x_k,0),(x_{k+1},1),(x_{k+2},0)}\) a poza tym przedziałem dajemy zero. Na skrajnych podprzedziałach będzie tylko po jednym kawałku tych hat functions (stąd weźmiemy funkcję liniową w naszym przedstawieniu). Funkcję kapeluszową można chyba dość łatwo przedstawić w żądanej postaci, i to jednoznacznie, zaś kombinacja funkcji kapeluszowych też jest jednoznaczna, bo one są liniowo niezależne.

Tak więc należy zacząć zabawę od funkcji kapeluszowych.

[adam4990]

Jest to dla mnie zrozumiałe. Nie wiem jak dość od kombinacji liniowej funkcji kapeluszowej do podanego wzoru.

Może pokażę na przykładzie jak to rozumiem. Weźmy \(\displaystyle{ x_{0}=1, x_{1}=4, x _{2}=6}\) i \(\displaystyle{ y_{0}=2, y_{1}=3, y_{2}=5}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(x)= - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}}\) dla \(\displaystyle{ x \in <1,4>}\), \(\displaystyle{ 0}\) w.p.p. \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}}\) dla \(\displaystyle{ x \in <1,4>}\), \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}x+3}\) dla \(\displaystyle{ x \in <4,6>}\), \(\displaystyle{ 0}\) w.p.p i \(\displaystyle{ h(x)= \frac{1}{2}x-2}\) dla \(\displaystyle{ x \in <4,6>}\), \(\displaystyle{ 0}\) w.p.p.

Wtedy \(\displaystyle{ a(x)=2f(x)+3g(x)+5h(x)}\)
Wydaje mi się, że dobrze myślę. Jak teraz przejść do podanego w zadaniu równania?

[szw1710]

Najpierw przestaw funkcję kapeluszową a postaci \(\displaystyle{ h_{k+1}(x)=a|x-x_k|+b|x-x_{k+1}|+c|x-x_{k+2}|}\). To łatwe zadanie. A potem przypomnij sobie wzór Lagrange'a. Masz własność, że w punkcie \(\displaystyle{ x_{k+1}}\) funkcja kapeluszowa ma wartość \(\displaystyle{ 1}\), a w pozostałych węzłach się zeruje. Więc \(\displaystyle{ a(x)=\sum_{k}a(x_k)h_k(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ h_k}\) jest funkcją kapeluszową mającą jedynkę w \(\displaystyle{ x_k}\).

Pierwsza i ostania funkcja kapeluszowa mogą być liniowe, bo nie ma drugiego ramienia. A można też zrobić kapelusz przedłużając dowolnie w lewo (pierwszą) i w prawo (ostatnią).

Jednoznaczność przedstawienia wynika z linowej niezależności funkcji kapeluszowych.

Dalej nie będę mógł Ci pomagać aż do środy. Ważna sprawa rodzinna, ale nie taka jakby można myśleć. Bardzo pozytywna.