Rząd kwadratury interpolacyjnej

[Kaleo]

Dla kwadratury interpolacyjnej opisanej wzorem \(\displaystyle{ Q(f)=A_{0}f(a)+A_{1}f(c)}\), przybliżającej całkę \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}f(x)dx}\), znajdź węzeł c i współczynniki \(\displaystyle{ A_{0}, A_{1}}\) tak, aby rząd tej kwadratury był jak największy.


Nie bardzo wiem jak wgl zabrać się za to zadanie. Teoretycznie rozumiem definicję rzędu, ale nie potrafię z niej skorzystać. Czy mogłabym prosić o pomoc?

[szw1710]

Kwadratura dwupunktowa najwyższego rzędu jest tu kwadraturą Radaua (bo angażuje węzeł \(\displaystyle{ a}\)) . Oczywiście można to wyliczyć bez znajomości teorii kwadratur. Największy możliwy rząd kwadratury dwupunktowej to \(\displaystyle{ 4}\) (może być dokładna dla wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 3}\)). Wystarczy liczyć momenty, tzn. wartości \(\displaystyle{ Q}\) na jednomianach \(\displaystyle{ 1,x,x^2,x^3}\). Na \(\displaystyle{ x^3}\) \(\displaystyle{ Q}\) nie wyjdzie dokładna. Dlaczego - to się okaże z obliczeń.

Wynik: \(\displaystyle{ c=\frac{1}{4}a+\frac{3}{4}b}\), \(\displaystyle{ A_0=\frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ A_1=\frac{3}{2}}\). Nie liczyłem - tak musi wyjść z teorii kwadratur.

[Michocio]

@szw1710 przepraszam, że odkurzam temat. Czy mogę prosić o wyjaśnienie w jaki sposób wyliczyłeś te współczynniki dla kwadratury Radaua? Pięknie proszę

[szw1710]

Wystarczy posłużyć się tym co już napisałem - dokładnością na jednomianach \(\displaystyle{ 1,x,x^2}\). Mamy jeden węzeł (drugi jest początkiem przedziału) i dwie wagi, trzy równania. Wystarczy rozwiązać układ równań. Zapisz go i rozwiąż.

[Michocio]

Tak, tylko jeżeli podstawimy te wartości to dla \(\displaystyle{ f(x) = 1}\) mamy
\(\displaystyle{ b - a = 2}\), a to chyba nie musi być prawda?

Proszę mnie poprawić/wytłumaczyć co robię źle.

[szw1710]

Niech \(\displaystyle{ Q(f)=A_0f(-1)+A_1f(c)}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \int_a^b \dd x=A_0\cdot 1+A_1\cdot 1}\)

Stąd \(\displaystyle{ A_0+A_1=b-a}\), a \(\displaystyle{ a,b}\) są przecież dane!!! Działaj dalej.

[adam4990]

Przepraszam za pytanie, ale jak rozwiązać taki układ równań?
\(\displaystyle{ b-a= A_{0} + A_{1}}\)
\(\displaystyle{ b^{2} - a^{2}=2* A_{0}*a + 2*A_{1}*c}\)
\(\displaystyle{ b^{3} - a^{3}=3* A_{0}*a^{2} + 2*A_{1}*c^{2}}\)
\(\displaystyle{ b^{4} - a^{4}=4* A_{0}*a^{3} + 4*A_{1}*c^{3}}\)

[szw1710]

Dane są oczywiście \(\displaystyle{ a,b.}\) Mamy trzy równania - czwarte nie będzie wtedy spełnione ze względów teoretycznych, które omówiłem na wstępie wątku. Tak więc rozwiąż pierwsze trzy równania najzwyczajniej w świecie - metodą podstawiania.

Układ pierwszych trzech równań ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ A_0,a_1,c}\). Nie pasuje omo do czwartego równania, więc rząd tej kwadratury (Radaua) to \(\displaystyle{ 2}\) i jest maksymalny z możliwych.