Aproksymacja średniokwadratowa ciągła - minimum

[krzysiek852]

Mamy standardowy problem aproksymacji średniokwadratowej ciągłej: \(\displaystyle{ f(x)}\)funkcja ciągła na \(\displaystyle{ <a,b>}\). Mamy ją aproksymować funkcją postaci:\(\displaystyle{ P(x)=a_{0}\phi_{0}(x)+...+a_{n}\phi_{n}(x)}\). Zapisujemy problem w postaci \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}[f(x)-\sum_{i=0}^{n}a_{i}\phi_{i}(x)]^{2}dx}\). Obliczamy pochodne cząstkowe po \(\displaystyle{ a_{i}}\) w celu wyznaczenia minimum i przyrównujemy do 0. Teraz moje pytanie: dlaczego w książkach o analizie numerycznej jest napisane, po rozwiązaniu układu równań, że ten wektor \(\displaystyle{ a_{0},a_{1},...,a_{n}}\) jest minimum bez sprawdzenia znaku drugiej pochodnej? Jak to formalnie sprawdzić (tj. osiąganie min. w tym punkcie)?

[miodzio1988]

Hesjan wystarczy policzyć.

[krzysiek852]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2 \int_{a}^{b}\phi_{0}^{2}(x)dx & 2 \int_{a}^{b}\phi_{0}(x)\phi_{1}(x)dx & \cdots &2 \int_{a}^{b}\phi_{0}(x)\phi_{n}(x)dx\\ \\ 2 \int_{a}^{b}\phi_{1}(x)\phi_{0}(x)dx &2 \int_{a}^{b}\phi_{1}^{2}(x)dx & \cdots & 2 \int_{a}^{b}\phi_{1}(x)\phi_{n}(x)dx \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ 2 \int_{a}^{b}\phi_{n}(x)\phi_{0}(x)dx & 2 \int_{a}^{b}\phi_{n}(x)\phi_{1}(x)dx & \cdots & 2 \int_{a}^{b}\phi_{n}^{2}(x)dx \end{bmatrix}.}\) Dobrze ten hesjan jest policzony? Teraz należałoby zbadać kolejne wyznaczniki macierzy \(\displaystyle{ n+1\times n+1}\), \(\displaystyle{ n\times n}\),...,\(\displaystyle{ 1\times 1}\) i wszystkie powinny być większe od zera. Tylko jak to zrobić dla takiej wieeeeelkiej macierzy?