wykres funkcji

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 27 lut 2013, o 14:23

Ma zbiór punków, które opisują kształt pewnej funkcji (jest to rozwiązanie formy własnej dla utraty stateczności pręta ściskanego). Nanosząc to na wykres otrzymujemy coś takiego
... 02zqd.jpg/

Potrzebuję wyznaczyć numerycznie jaki kształt przybierze druga pochodna funkcji z tych punktów.
Próbowałem dodawać linię trendu w Excelu i liczyć 2 pochodną ale niestety jest bardzo duża rozbieżność wyników (nawet na zdjęciu jest jeszcze równanie przypisane przez Excela). Jest jakiś program, który zrobi mi to w sposób poprawny?

Jeśli coś to pomoże to najprawdopodobniej da się przypisać do tego jakąś funkcję trygonometryczną.

No i nie potrzebuję funkcji, ani tych punktów ani drugiej pochodnej. Jedyne co potrzebuję to kształt drugiej pochodnej, a właściwie jej wartość ekstremalną.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 27 lut 2013, o 20:19

Do \(\displaystyle{ 6}\) i od \(\displaystyle{ 8}\) funkcja jest prawie że liniowa. Możesz to sprawdzić licząc współczynniki korelacji liniowej Pearsona dla danych z \(\displaystyle{ x}\) w tych przedziałach. A więc tam druga pochodna jest ok. zera. Ale nieważne. Czytaj dalej.

Przybliżenie numeryczne drugiej pochodnej robi się ilorazem różnicowym drugiego rzędu. Jeśli masz trzy sąsiednie punkty \(\displaystyle{ (x_k,y_k)}\), \(\displaystyle{ (x_{k+1},y_{k+1})}\), \(\displaystyle{ (x_{k+2},y_{k+2})}\) (uporządkuj \(\displaystyle{ x}\) rosnąco), to weź taki iloraz

\(\displaystyle{ 2\cdot \frac{\dfrac{y_{k+2}-y_{k+1}}{x_{k+2}-x_{k+1}}-\dfrac{y_{k+1}-y_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}}{x_{k+2}-x_k}}\)

Dlaczego dwa razy? Zobacz do mojego wykładu w Kompendium: 269333.htm

Tę liczbę - przybliżenie drugiej pochodnej - przypisz punktowi \(\displaystyle{ x_{k+1}}\). Pominiesz w ten sposób tylko pierwszy i ostatni punkt Twoich danych.

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 27 lut 2013, o 23:35

... ardvy.jpg/

Po lewej funkcja po prawej pochodna. Kształtem wygląda dobrze. Martwi mnie jedynie duży rozrzut punktów. Ten wzór co pan podał to jest rozwiązanie ścisłe gdy liczba punktów dąży do nieskończoności? Rozrzut punktów będzie wynika najprawdopodobniej z dokładności współrzędnych punktów (mam 4 cyfry znaczące dla y i dla x dokładną wartość)?-- 27 lutego 2013, 23:40 --na drugie pytanie sam sobie odpowiedziałem:
... d02ar.jpg/
zabrałem 8 cyfr znaczących i jest pięknie:) Do obliczeń inżynierskich wystarczy:)

Proszę mi tylko powiedzieć czy to jest rozwiązanie ścisłe gdy liczba punktów dąży do nieskończoności?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 lut 2013, o 11:32

Nie ma znaczenia ile mamy punktów. Do obliczenia wartości drugiej pochodnej ilorazem różnicowym drugiego rzędu potrzeba trzech punktów \(\displaystyle{ x}\).

A co tu mówić o ścisłości, skoro nawet funkcji nie ma i mamy dane dyskretne?

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 28 lut 2013, o 17:38

Ale możemy mieć funkcję i na tej funkcji odczytać ileś punktów. I teraz czy gdy mamy coraz więcej punktów czy dochodzimy to kształtu funkcji rzeczywistej?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 lut 2013, o 18:31

To zagadnienie związane z aproksymacją. Wcześniej trzeba wiedzieć jaki typ funkcji modeluje jakieś zjawisko. A potem np. metodą najmniejszych kwadratów dobrać funkcję do punktów pomiarowych. Im więcej punktów, tym oczywiście lepiej. To są modele regresyjne. Wiele z nich można sprowadzić do liniowych przez proste przekształcenia.

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 28 lut 2013, o 20:02

A jeśli teraz chciałbym opisać funkcją moje punkty? Zarówno dla funkcji kształtu jak i jej drugiej pochodnej. Są do tego jakieś programy? Jeśli tak to jakie? Dla funkcji pierwotnej jako tako jeszcze mogę przypisać funkcję przy użyciu wielomianów, ale do drugiej pochodnej już nie bardzo.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 28 lut 2013, o 20:20

Jeśli masz wiele punktów, wielomian i interpolacja nie jest najlepszym pomysłem. Stopień będzie niebotycznie wysoki. Poza tym między węzłami mogą się dziać niestworzone rzeczy. Jest tak jeśli węzły są przypadkowo dobrane, jak w przykładzie z danymi pomiarowymi. Do interpolacji wielomianowej najlepsze są węzły Czebyszewa, które eliminują dzikie zachowanie wielomianu interpolującego pomiędzy węzłami. Chyba więc nie tędy droga.

Ja nie znam się na tej stateczności pręta. Musisz poczytać/powiedzieć, jaką ogólną formą powinna mieć ta funkcja. Potem dobierze się parametry metodą najmniejszych kwadratów.

Nie wiem czy są programy dobierające kształt funkcji do danych (w sensie czy wielomian, czy jakiś sinus czy może funkcja wykładnicza). Nie uważam zresztą tego za celowa. Postać funkcji opisującej zjawisko wynika przecież z jakichś zasad. Np. zachowania energii, momentu pędu, zasad termodynamiki itp. Więc nie wolno do opisu dobierać jakiejś dowolnej funkcji. Jej postać jest zdeterminowana.

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 1 mar 2013, o 00:31

Stateczność pręta (równanie lini wygięcia) opisuje równianie różniczkowe, które nie ma rozwiązania w zakresie funkcji elementarnych. A te punkty co ja dałem to to jest właśnie numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego. Tak więc nie jestem wstanie podać ogólnej formy, a jedynie do punktów dobrać kształt funkcji poprzez najlepsze dopasowanie, ale nie wiem jak.

-- 3 marca 2013, 12:35 --

A teraz jeszcze takie pytanie odnośnie poniższego rysunku:

... d02vm.jpg/

Teraz moim prętem jest łuk (wycinek okręgu o promieniu R), jest to kolor czerwony na rysunku. Formą własną jest teraz linia biała. Opis linii czerwonej jest oczywisty. Opis linii białej powstaje poprzez dyskretyzację linii czerwonej (np. do 100 punktów). No i znam teraz przesunięcie tych punktów (wektor przesunięcia punktów na linii czerwonej w odpowiadające im na linii białej). Czyli opis linii białej jest też znany w układzie związanym z linią czerwoną.

A teraz pytanie:
Jak wyliczyć drugą pochodną linii białej? Oczywiście znowu nie znamy żadnych funkcji elementarnych, a rozwiązanie istnieje tylko numeryczne.

-- 3 marca 2013, 12:37 --

Jeśli Pan potrzebuje to mogę wstawić tabele z wynikami, opisującymi obie linie.-- 3 marca 2013, 12:38 --No i dziękuję bardzo za odpowiedź w powyższych postach. Bardzo mi to pomogło:)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 5 mar 2013, o 20:03

A czemu nie chcesz liczyć tej drugiej pochodnej ilorazami, które wskazałem?

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 5 mar 2013, o 22:46

No tylko jak? Moją "osią x" jest linia czerwona, czyli jest ona wygięta. W sumie nie wiem jak to działa. Wygląd pochodnej tej samej funkcji opisanej w układzie kartezjańskim i biegunowym jest taki sam?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 5 mar 2013, o 22:55

Nie doczytałem poprzedniego posta. Za późno teraz na konstruktywne myślenie. Nie wiem czy dobrym pomysłem jest linearyzacja. Po prostu przetransformować "oś" tak, aby była prostą. Jak - na razie nie wiem.

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 6 mar 2013, o 21:06

To ja może dodam co potrzebuję policzyć:

Ta biała funkcja to \(\displaystyle{ y _{cr}}\)
a ja potrzebuję \(\displaystyle{ \frac{y _{cr} }{y "_{cr,max}}}\)

gdzie y"_cr,max oznacza maksymalną wartość drugiej pochodnej.

Atraktor · Post autor: **Atraktor** » 25 kwie 2013, o 21:53

szw1710 pisze:Do \(\displaystyle{ 6}\) i od \(\displaystyle{ 8}\) funkcja jest prawie że liniowa. Możesz to sprawdzić licząc współczynniki korelacji liniowej Pearsona dla danych z \(\displaystyle{ x}\) w tych przedziałach. A więc tam druga pochodna jest ok. zera. Ale nieważne. Czytaj dalej.

Przybliżenie numeryczne drugiej pochodnej robi się ilorazem różnicowym drugiego rzędu. Jeśli masz trzy sąsiednie punkty \(\displaystyle{ (x_k,y_k)}\), \(\displaystyle{ (x_{k+1},y_{k+1})}\), \(\displaystyle{ (x_{k+2},y_{k+2})}\) (uporządkuj \(\displaystyle{ x}\) rosnąco), to weź taki iloraz

\(\displaystyle{ 2\cdot \frac{\dfrac{y_{k+2}-y_{k+1}}{x_{k+2}-x_{k+1}}-\dfrac{y_{k+1}-y_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}}{x_{k+2}-x_k}}\)

Dlaczego dwa razy? Zobacz do mojego wykładu w Kompendium: 269333.htm

Tę liczbę - przybliżenie drugiej pochodnej - przypisz punktowi \(\displaystyle{ x_{k+1}}\). Pominiesz w ten sposób tylko pierwszy i ostatni punkt Twoich danych.

A jakim wzorem zrobić przybliżenie numeryczne pierwszej pochodnej?-- 25 kwietnia 2013, 22:59 --i takie jeszcze pytanie czy da się w mathcadzie wprowadzić wykres punktowy, a następnie dostać z niego wykres drugiej pochodnej?