Matematyka.pl

"Wyznaczanie funkcji aproksymacyjnej jest szczególnie wygodne z użyciem wielomianów ortogonalnych. Własności, jakie posiadają układy funkcji ortogonalnych są często wykorzystywane w zagadnieniach obliczeniowych. Użycie wielomianów ortogonalnych upraszcza i skraca rozwiązanie wielu problemów, a także eliminuje niekorzystne efekty związane ze złym uwarunkowaniem zadań."

Zamieniamy wektory liniowo niezależne w wektory ortogonalne, bo ułatwia nam to sprawę. Tylko...
Właśnie, jak ułatwia i o jakich problemach mowa w przytoczonym cytacie? Poproszę o konkretny przykład i uzasadnienie.

Chciałabym też wiedzieć jak przebiega taka zamiana (najlepiej zobrazowana graficznie).

Wielomianów ortogonalnych używa się np. w konstrukcji kwadratur (tzn. metod całkowania przybliżonego), w szczególności kwadratur Gaussa. Zakłada się, że kwadratura jest dokładna na wielomianach określonego rzędu i minimalizując liczbę węzłów otrzymuje się zera wielomianów ortogonalnych. Omawia się to dobrze w podręczniku Kincaida i Chenneya "Analiza numeryczna". Anthony Ralston w swojej książce stosuje nieco inne podejście, ale tez można przeczytać. W końcu dochodzi do wielomianów ortogonalnych. Wreszczie klasyczna pozycja "Orthogonal polynomials" Gabora Szego, rozdział "Mechanical quadrature". To najlepsze tłumaczenie. No, może jeszcze Karlin, Studden "Tchebycheff systems", ale tam trzeba się tego naszukać.

Konkretny przykład przerasta ramy tego forum. Ale nie podałbym niczego innego, jak to:

... 08_www.pdf

Zobacz rozdział 2.1 - to klasyczna analiza numeryczna.