Sprawdź, czy ideał \(\displaystyle{ }\)jest ideałem głównym w pierścieniu \(\displaystyle{ \mathbb{Q}[X]}\)
Jakieś wskazówki?
Ideał główny?
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Ideał główny?
Jedna uwaga ogólna:
dla dowolnego ciała \(\displaystyle{ K}\) pierścień \(\displaystyle{ K[X]}\) jest dziedziną ideałów głównych, bo jest dziedziną euklidesową (jako odpowiednia funkcję wystarczy przyjąć funkcję przypisującą wielomianowi jego stopień).
Ale w tym wypadku sprawa jest jeszcze prostsza, bo \(\displaystyle{ 2}\) jest odwracalny w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}[X]}\), a więc \(\displaystyle{ (X, 2) = \mathbb{Q}[X] = (1)}\) i widzimy, że ten ideał jest główny.
dla dowolnego ciała \(\displaystyle{ K}\) pierścień \(\displaystyle{ K[X]}\) jest dziedziną ideałów głównych, bo jest dziedziną euklidesową (jako odpowiednia funkcję wystarczy przyjąć funkcję przypisującą wielomianowi jego stopień).
Ale w tym wypadku sprawa jest jeszcze prostsza, bo \(\displaystyle{ 2}\) jest odwracalny w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}[X]}\), a więc \(\displaystyle{ (X, 2) = \mathbb{Q}[X] = (1)}\) i widzimy, że ten ideał jest główny.