automorfizm grup

[ddawidd]

Wykazać że dla \(\displaystyle{ n>1 (n N)}\) zachodzi nierównośc \(\displaystyle{ |Aut(Z_n)|}\)

[max]

Można zauważyć, że każdy taki automorfizm jest jednoznacznie wyznaczony przez wartość na \(\displaystyle{ 1}\) (bo \(\displaystyle{ 1}\) generuje \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n}}\)) i tą wartością musi być jeden z \(\displaystyle{ \varphi(n)}\) generatorów \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n}}\) (generatory \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{n}}\), to klasy liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\)).
Zatem \(\displaystyle{ |\mbox{Aut}(\mathbb{Z}_{n})| = \varphi(n) < n = |\mathbb{Z}_{n}|}\).
(Używając powyższej idei można pokazać, że grupa tych automorfizmów jest izomorficzna z grupą klas liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ n}\) z działaniem mnożenia modulo \(\displaystyle{ n}\)).