izomorfizm algebr

[moto]

Dana jest algebra \(\displaystyle{ \ZZ= (\ZZ,+)}\).Udowodnić, że algebry \(\displaystyle{ \ZZ}\) i \(\displaystyle{ \ZZ^2}\) nie sa izomorficzne.

[Spektralny]

Rozumiem, że traktujesz grupy abelowe jako \(\displaystyle{ \mathbb Z}\)-algebry. Można i tak.

Grupa \(\displaystyle{ \mathbb Z}\) jest cykliczna, ale \(\displaystyle{ \mathbb Z^2}\). Istotnie, załóżmy, że \(\displaystyle{ (m,n)}\) generuje tę grupę.Wtedy każda inna para jest wielokrotnością postaci \(\displaystyle{ (km, kn)}\), ale tak być nie może. Jasne jest, że \(\displaystyle{ m\neq 0 \neq n}\). Ponadto, para \(\displaystyle{ (1,0)}\) nie wyraża się w ten sposób.

Ponieważ jedna grupa jest cykliczna a druga nie, nie mogą być one izomorficzne.

[krl]

Błyskawiczna odpowiedź! Gratuluję refleksu. Oprócz \(\displaystyle{ \mathbb Z}\)-algebr, \(\displaystyle{ K}\)-algebr itp. są jeszcze zwykłe algebry (ogólne)...