Ciała zadania

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
AnnaK11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 1 maja 2022, o 19:09
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 3 razy

Ciała zadania

Post autor: AnnaK11 »

Potrzebuję pomocy z dwoma zadaniami z algebry. Totalnie nie wiem od czego zacząć. Proszę pomóżcie!!!
1. Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie rozszerzeniem \(\displaystyle{ K.}\) Udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ \left[ L:K \right]}\) jest liczbą pierwszą, to dla każdego \(\displaystyle{ a \in L \setminus K}\), spełniona jest równość \(\displaystyle{ L=K(a)}\).
2. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest elementem algebraicznym nad \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ \left[ K(a):K \right]}\) jest liczbą nieparzystą, to \(\displaystyle{ K(a) = K(a^{2})}\). Czy stwierdzenie to można odwrócić?
Ostatnio zmieniony 1 maja 2022, o 21:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Ciała zadania

Post autor: Dasio11 »

1. Zachodzi \(\displaystyle{ [L:K] = [L:K(a)] \cdot [K(a):K]}\). Skorzystaj z założenia, że \(\displaystyle{ [L:K]}\) jest liczbą pierwszą.

2. Zachodzi \(\displaystyle{ [K(a):K] = [K(a):K(a^2)] \cdot [K(a^2):K]}\). Wykaż i wykorzystaj fakt, że \(\displaystyle{ [K(a):K(a^2)] \in \{ 1, 2 \}}\).

Stwierdzenia nie można odwrócić - dla \(\displaystyle{ \omega = \cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3}}\) mamy \(\displaystyle{ \QQ(\omega) = \QQ(\omega^2)}\), ale \(\displaystyle{ [\QQ( \omega ) : \QQ] = 2}\).
AnnaK11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 1 maja 2022, o 19:09
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 3 razy

Re: Ciała zadania

Post autor: AnnaK11 »

1. Rozpisałam to i wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ ([L:K(a)]=1 \wedge [K(a):K]=p) \vee ([L:K(a)]=p \wedge [K(a):K]=1) }\), gdzie p-liczba pierwsza. Stąd \(\displaystyle{ L=K(a) \vee K(a)=K }\). Ta pierwsza równość to jest to co trzeba było udowodnić, ale nie wiem co teraz zrobić z ta druga równością.

2. Nie bardzo wiem skąd się to bierze, że \(\displaystyle{ [K(a):K(a^{2})] \in \left\{ 1,2\right\} }\).
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Ciała zadania

Post autor: Dasio11 »

1. \(\displaystyle{ K(a) = K}\) jest równoważne \(\displaystyle{ a \in K}\), a to jest sprzeczne z założeniem że \(\displaystyle{ a \in L \setminus K}\).

2. \(\displaystyle{ [K(a) : K(a^2)]}\) jest stopniem wielomianu minimalnego \(\displaystyle{ a}\) nad \(\displaystyle{ K(a^2)}\). Potrafisz wskazać jakiś wielomian o współczynnikach z \(\displaystyle{ K(a^2)}\), którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ a}\)?
AnnaK11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 1 maja 2022, o 19:09
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 3 razy

Re: Ciała zadania

Post autor: AnnaK11 »

2. \(\displaystyle{ f(x) = x^{2}-a^{2}}\). Aha, czyli teraz skoro znalazłam wielomian stopnia drugiego, którego pierwiastkiem jest a, to znaczy, że minimalny wielomian będzie miał stopień co najwyżej 2. A stąd \(\displaystyle{ [K(a):K(a^{2})] \in \left\{ 1,2\right\} }\), bo stopień rozszerzenia musi być liczbą naturalną, a zera nie bierzemy pod uwagę, bo wielomian stały niezerowy nie ma pierwiastków.
I teraz wystarczy jeszcze tylko rozpisać tą równość \(\displaystyle{ [K(a):K] = [K(a):K(a^{2})]*[K(a^{2}):K]}\), gdzie \(\displaystyle{ [K(a):K]=2n+1}\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), dla \(\displaystyle{ [K(a):K(a^{2})] }\) równego 1 i 2. A stąd wychodzi, że:
dla \(\displaystyle{ 1: [K(a):K(a^{2})]=1}\) i \(\displaystyle{ [K(a^{2}):K]=2n+1}\), czyli \(\displaystyle{ [K(a)=K(a^{2})]}\)
dla \(\displaystyle{ 2: [K(a):K(a^{2})]=2}\) i \(\displaystyle{ [K(a^{2}):K]=(2n+1)/2}\), a to jest sprzeczność, bo \(\displaystyle{ (2n+1)/2 \notin \mathbb{N}}\).
Dobrze to rozumiem?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Ciała zadania

Post autor: Dasio11 »

Tak, dokładnie o to chodzi.
AnnaK11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 1 maja 2022, o 19:09
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 3 razy

Re: Ciała zadania

Post autor: AnnaK11 »

Bardzo dziękuję za pomoc!!!
ODPOWIEDZ