Zadanie z układem równań w Pierścieniach

[chmurek3508]

W jaki sposób obliczyć podpunkt A ?
Podpunkt B udało mi się zrobić ( wyszło mi \(\displaystyle{ x=3 , y=5}\) co się zgadza) aczkolwiek gdy robię podpunkt A w ten sam sposób to nie wychodzi żaden sensowny wynik.
Czy mógłby proszę ktoś rozwiązać podpunkt A ?
Mogę tez dosłać moje rozwiązanie z podpunktu B jeśli trzeba.
Z góry dziękuję

[Janusz Tracz]

W \(\displaystyle{ (a)}\) zapisał bym, że \(\displaystyle{ 3y=1-2x}\) zatem \(\displaystyle{ 4 \cdot 3y = 4 - 8x}\) (gdzie równości są \(\displaystyle{ \mod 11}\)). Stąd można wyznaczyć możliwe wartości \(\displaystyle{ y}\). Podstaw je pod drugie równanie aby dostać kongruencję z jedną niewiadomą.

[chmurek3508]

W jaki sposób podstawić \(\displaystyle{ 12y = 4 -8x}\) pod \(\displaystyle{ 6x + 5y = 5}\) ?
Musiałbym pomnożyć obustronnie w obu równaniach ?
\(\displaystyle{ 60y = 20 - 40x\\
72x + 60y = 60}\)

Jak tak podstawię to otrzymam
\(\displaystyle{ 72x + 20 -40x = 60}\)
co po skróceniu da
\(\displaystyle{ 32x = 40}\) a \(\displaystyle{ 40}\) nie może być bo nie wyjdzie reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 11}\)

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ 12y}\) to \(\displaystyle{ y}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\).

[Jan Kraszewski]

Albo \(\displaystyle{ 4\cdot 3=1}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_{11}.}\)

JK

[chmurek3508]

Nie rozumiem
W jaki sposób otrzymać równanie na y ?

[Janusz Tracz]

Tak jak napisałem pierwsze równanie \(\displaystyle{ 3y=1-2x}\) mnożysz przez \(\displaystyle{ 4}\) i korzystasz z tego, że jesteś w \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) (czyli zachodzi równość którą JK napisał).

[chmurek3508]

Tak jak napisałem pierwsze równanie \(\displaystyle{ 3y=1-2x}\) mnożysz przez \(\displaystyle{ 4}\) i korzystasz z tego, że jesteś w \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) (czyli zachodzi równość którą JK napisał).

W jaki sposób mam z tego skorzystać ?
Nic mi to nie mówi
Wysłałbyś proszę równania krok po kroku z których wynika że \(\displaystyle{ x=3}\) ?
Wysłałem tez foto równań nauczycielki ale ich nie rozumiem

[ciach]

Dodano po 1 minucie 15 sekundach:
W jaki sposób \(\displaystyle{ 6x + 9y = 3}\) zostało zamienione na \(\displaystyle{ 6x = 3 + 2y}\) ?

[Jan Kraszewski]

chmurek3508, na tym forum obowiązują pewne zasady. Albo używasz \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a, albo w ostateczności możesz dodać załącznik z ładnym, drukowanym tekstem. Linki i bazgroły na kartce nie przechodzą.

Poza tym mam pytanie: wiesz co to jest pierścień \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\)? Wiesz, że w \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) np. \(\displaystyle{ -9=2}\) (gdzie przez \(\displaystyle{ -9}\) rozumiemy element przeciwny do \(\displaystyle{ 9}\))?

W jaki sposób \(\displaystyle{ 6x + 9y = 3}\) zostało zamienione na \(\displaystyle{ 6x = 3 + 2y}\) ?

Dodano \(\displaystyle{ 2y}\) do obu stron równania.

JK

[chmurek3508]

\(\displaystyle{ 2x + 3y = 1}\) dla \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\)
\(\displaystyle{ 6x + 5y = 5}\)
Stąd
\(\displaystyle{ 6x = 9y = 3 \rightarrow 6x = 3 + 2y \\
6x + 5y = 5 \rightarrow ( 3 + 2y ) + 5y = 5 \rightarrow 7y = 2,\ \ y = 5}\)

Najmocniej przepraszam za bazgroły na kartce
Czy mógłbyś mi proszę wytłumaczyć w jaki sposób to zaszło ?
\(\displaystyle{ 6x = 9y = 3 \rightarrow 6x = 3 + 2y}\)

[Jan Kraszewski]

Oporny jesteś. Przeczytaj instrukcję LaTeXa: [instrukcja] Krótki kurs LaTeX-a.

Czy mógłbyś mi proszę wytłumaczyć w jaki sposób to zaszło ?
\(\displaystyle{ 6x +9y = 3 \rightarrow 6x = 3 + 2y}\)

Już pisałem:

Dodano \(\displaystyle{ 2y}\) do obu stron równania.

JK

[Janusz Tracz]

W jaki sposób mam z tego skorzystać ?

Do póki nie zrozumiesz, że \(\displaystyle{ 12=1}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) to nie będziesz wiedzieć jak. JK zadaje Ci pytania i to na nie najpierw powinieneś odpowiedzieć. Tak jak \(\displaystyle{ -9=2}\), czy z tym czujesz się swobodnie?

Nic mi to nie mówi

A wiesz czym jest \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) i co się w tym zadaniu w ogóle dzieje?

Wysłałbyś proszę równania krok po kroku z których wynika że \(\displaystyle{ x=3}\) ?

Nie chce Ci dać gotowca bo jednego już masz i efekt jest marny.

[chmurek3508]

jeżeli dodam do obu stron równania \(\displaystyle{ 2y}\) to otrzymam:
\(\displaystyle{ 6x + 11y = 3 + 2y}\)
Czy \(\displaystyle{ 11y}\) znika ponieważ jest to \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) ?

Edit:
W podpunkcie B który zrobiłem poprawnie nie było takiej sytuacji w której dodawałem po obu stronach

[Jan Kraszewski]

Czy \(\displaystyle{ 11y}\) znika ponieważ jest to \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\) ?

W matematyce nic nie "znika", natomiast \(\displaystyle{ 11y=0}\). Czy to Cię dziwi? Czy możesz jednak odpowiedzieć na moje pytanie:

Poza tym mam pytanie: wiesz co to jest pierścień \(\displaystyle{ \ZZ_{11}}\)?

Bo obawiam się, że bez ustalenia tego nauczysz się tylko kilku magicznych ruchów, co na dłuższą metę nic nie da.

W podpunkcie B który zrobiłem poprawnie nie było takiej sytuacji w której dodawałem po obu stronach

"Dodawanie do obu stron" to bardziej formalna nazwa na "przenoszenie na drugą stronę ze zmienionym znakiem".

JK