Mam problem z następującym zadaniem.
Niech $$q=(2, x)^{2} \vartriangleleft \mathbb{Z}[x] $$ a) Pokazać, że \(\displaystyle{ q}\) jest pierwsze.
b) Pokazać, że $$q=(4, x) \cap (2,x^{2}).$$
Ideał
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Ideał
Teza podpunktu (a) jest nieprawdziwa, bo \(\displaystyle{ 2x \in q}\) ale \(\displaystyle{ 2 \notin q}\) i \(\displaystyle{ x \notin q}\).
Żeby udowodnić (b), zauważ najpierw że \(\displaystyle{ q = (4, 2x, x^2)}\) (bo ogólnie: \(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) = (ac, ad, bc, bd)}\)). Wtedy łatwo udowodnić że \(\displaystyle{ q \subseteq (4, x)}\) i \(\displaystyle{ q \subseteq (2, x^2)}\), co daje \(\displaystyle{ q \subseteq (4, x) \cap (2, x^2)}\). Dla dowodu zawierania w drugą stronę wystarczy zauważyć, że wielomiany w \(\displaystyle{ (4, x)}\) muszą mieć wyraz wolny podzielny przez cztery, a wielomiany w \(\displaystyle{ (2, x^2)}\) muszą mieć parzysty współczynnik przy iksie, bo to od razu pozwala przedstawić dowolny wielomian z przekroju jako kombinację elementów \(\displaystyle{ 4, 2x, x^2}\).
Żeby udowodnić (b), zauważ najpierw że \(\displaystyle{ q = (4, 2x, x^2)}\) (bo ogólnie: \(\displaystyle{ (a, b) \cdot (c, d) = (ac, ad, bc, bd)}\)). Wtedy łatwo udowodnić że \(\displaystyle{ q \subseteq (4, x)}\) i \(\displaystyle{ q \subseteq (2, x^2)}\), co daje \(\displaystyle{ q \subseteq (4, x) \cap (2, x^2)}\). Dla dowodu zawierania w drugą stronę wystarczy zauważyć, że wielomiany w \(\displaystyle{ (4, x)}\) muszą mieć wyraz wolny podzielny przez cztery, a wielomiany w \(\displaystyle{ (2, x^2)}\) muszą mieć parzysty współczynnik przy iksie, bo to od razu pozwala przedstawić dowolny wielomian z przekroju jako kombinację elementów \(\displaystyle{ 4, 2x, x^2}\).