Algebra na chłopski rozum - Grupa i podgrupa 1

[Wladzik]

Treść zadania jest następująca :
Niech \(\displaystyle{ G = GL(4, \RR), H = SL(4, \RR)}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ H < G}\).

Proponowane rozwiązanie :
\(\displaystyle{ G = GL(4, \RR)}\) - wszystkie rzeczywiste nieosobliwe macierze stopnia \(\displaystyle{ 4}\) z wyznacznikiem różnym od \(\displaystyle{ 0}\).
\(\displaystyle{ H = SL(4, \RR)}\) - macierze należące do grupy \(\displaystyle{ GL(4, \RR)}\), które posiadają wyznacznik równy dokładnie \(\displaystyle{ 1}\).
Czy wskazanie przykładowej macierzy \(\displaystyle{ A}\) należącej do \(\displaystyle{ G}\), a nie należącej do \(\displaystyle{ H}\) można uznać za rozwiązanie skuteczne, choć mało eleganckie ?

Np. macierz \(\displaystyle{ A}\) (4x4) o wyznaczniku równym \(\displaystyle{ |A| = 2}\) :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&2\end{bmatrix}}\)

Jako domorosły samouk z ciekawością zapoznam się z każdą opinią - Władzik.

[Jan Kraszewski]

Proponowane rozwiązanie :
\(\displaystyle{ G = GL(4, \RR)}\) - wszystkie rzeczywiste nieosobliwe macierze stopnia \(\displaystyle{ 4}\) z wyznacznikiem różnym od \(\displaystyle{ 0}\).
\(\displaystyle{ H = SL(4, \RR)}\) - macierze należące do grupy \(\displaystyle{ GL(4, \RR)}\), które posiadają wyznacznik równy dokładnie \(\displaystyle{ 1}\).
Czy wskazanie przykładowej macierzy \(\displaystyle{ A}\) należącej do \(\displaystyle{ G}\), a nie należącej do \(\displaystyle{ H}\) można uznać za rozwiązanie skuteczne, choć mało eleganckie ?

Ale rozwiązanie czego? W ten sposób pokazujesz, że \(\displaystyle{ H}\) jest właściwym podzbiorem \(\displaystyle{ G}\), co nie ma żadnego związku z tezą, która mówi o tym, że \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą \(\displaystyle{ G}\).

JK

[Wladzik]

Proponowane rozwiązanie :
\(\displaystyle{ G = GL(4, \RR)}\) - wszystkie rzeczywiste nieosobliwe macierze stopnia \(\displaystyle{ 4}\) z wyznacznikiem różnym od \(\displaystyle{ 0}\).
\(\displaystyle{ H = SL(4, \RR)}\) - macierze należące do grupy \(\displaystyle{ GL(4, \RR)}\), które posiadają wyznacznik równy dokładnie \(\displaystyle{ 1}\).
Czy wskazanie przykładowej macierzy \(\displaystyle{ A}\) należącej do \(\displaystyle{ G}\), a nie należącej do \(\displaystyle{ H}\) można uznać za rozwiązanie skuteczne, choć mało eleganckie ?

Ale rozwiązanie czego? W ten sposób pokazujesz, że \(\displaystyle{ H}\) jest właściwym podzbiorem \(\displaystyle{ G}\), co nie ma żadnego związku z tezą, która mówi o tym, że \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą \(\displaystyle{ G}\).

JK

Przepraszam. Nieprecyzyjnie określiłem \(\displaystyle{ H = SL(4, \RR)}\) - GRUPA liniowa zawierającą wszystkie macierze należące do grupy \(\displaystyle{ GL(4, \RR)}\), których wyznacznik jest równy jedności.

[arek1357]

GRUPA liniowa

Więc co chcesz udowodnić?

[Kordyt]

Autorowi tematu (tego jak i innych) proponuję w końcu zajrzeć do dowolnej literatury z podstaw algebry i sprawdzić jaka jest definicja podgrupy.
Odnoszę wrażenie że tracisz też rozeznanie w pojęciu grupy. To jest nie tylko zbiór elementów, ale też działanie określone w tym zbiorze.
To już narzuca się samo przez się, że sprawdzając czy coś jest podgrupą nie wystarczy wykazać że jest to podzbiór, ale też trzeba coś z działaniami sprawdzić.
Napisz jaką znasz definicję grupy/podgrupy. Pociągniemy dalej z podpowiedziami.

[arek1357]

Dokładnie a tak to jest pisanie na pałę z cyklu: "coś wiem a czegoś nie wiem"...

[Wladzik]

Pytania, które zadaję są związane z pewnym sympatycznym zakładem. Nie chodzi tyle o wiedzę, ile o intuicję - stąd kaleczę pojęcia, którymi operuję. Proszę jedynie o werdykt osób znających się na rzeczy, jaki by on nie był - bo to już sprawa drugorzędna. Oswojenie z Latexem - bezcenne.
Dla uściślenia przedstawię jeszcze raz zagadnienie w jego skorygowanym brzmieniu :

Niech \(\displaystyle{ G = GL(4, \RR), H = SL(4, \RR)}\).
!!! Wykazać, że \(\displaystyle{ H < G}\) !!!

Wyczytałem, że :
\(\displaystyle{ G = GL(4, \RR)}\) - grupa wszystkich rzeczywistych nieosobliwych macierzy stopnia \(\displaystyle{ 4}\) z wyznacznikiem różnym od \(\displaystyle{ 0}\), z działaniem mnożenia macierzy, macierzą jednostkową, elementem odwrotnym z odwracania macierzy
\(\displaystyle{ H = SL(4, \RR)}\) - grupa wszystkich macierzy należących do grupy \(\displaystyle{ GL(4, \RR)}\), które posiadają wyznacznik równy dokładnie \(\displaystyle{ 1}\), z działaniem mnożenia macierzy, macierzą jednostkową, elementem odwrotnym z odwracania macierzy
Pod werdykt podaję poniższe rozumowanie :
Czy wskazanie przykładowej macierzy \(\displaystyle{ A}\) należącej do \(\displaystyle{ G}\), a nie należącej do \(\displaystyle{ H}\) można uznać za dowód, że \(\displaystyle{ H < G}\) ?
Np. macierz \(\displaystyle{ A}\) (4x4) o wyznaczniku równym \(\displaystyle{ |A| = 2}\) :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&2\end{bmatrix}}\)

Władzik

[Kordyt]

Czy wskazanie przykładowej macierzy \(\displaystyle{ A}\) należącej do \(\displaystyle{ G}\), a nie należącej do \(\displaystyle{ H}\) można uznać za dowód, że \(\displaystyle{ H < G}\) ?
Np. macierz \(\displaystyle{ A}\) (4x4) o wyznaczniku równym \(\displaystyle{ |A| = 2}\) :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&2\end{bmatrix}}\)

Władzik

Nie można.

[arek1357]

Powinno się sprawdzić coś takiego czy zachodzi:

dla: \(\displaystyle{ a,b \in H, ab^{-1} \in H}\)

[Wladzik]

Czy wskazanie przykładowej macierzy \(\displaystyle{ A}\) należącej do \(\displaystyle{ G}\), a nie należącej do \(\displaystyle{ H}\) można uznać za dowód, że \(\displaystyle{ H < G}\) ?
Np. macierz \(\displaystyle{ A}\) (4x4) o wyznaczniku równym \(\displaystyle{ |A| = 2}\) :
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&2\end{bmatrix}}\)

Władzik

Nie można.

Byłbym wdzięczny za krótkie uzasadnienie...

[Jan Kraszewski]

Byłbym wdzięczny za krótkie uzasadnienie...

W ten sposób pokazujesz, że \(\displaystyle{ H}\) jest właściwym podzbiorem \(\displaystyle{ G}\), co nie ma żadnego związku z tezą, która mówi o tym, że \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą \(\displaystyle{ G}\).

JK

[Wladzik]

Byłbym wdzięczny za krótkie uzasadnienie...

W ten sposób pokazujesz, że \(\displaystyle{ H}\) jest właściwym podzbiorem \(\displaystyle{ G}\), co nie ma żadnego związku z tezą, która mówi o tym, że \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą \(\displaystyle{ G}\).

JK

Dziękuję. Mam poczucie, że dotarłem do sedna problemu.

Pozdrawiam - Władzik.

[Jan Kraszewski]

Mam poczucie, że dotarłem do sedna problemu.

No nie wiem. Twój problem polega na tym, że funkcjonujesz w niedookreślonej sytuacji.

Jeżeli \(\displaystyle{ \left\langle G,\cdot\right\rangle }\) jest grupą oraz \(\displaystyle{ H \subseteq G}\), to wtedy jest sens pytać, czy \(\displaystyle{ H\le G}\) - jest to równoważne z zamkniętością zbioru \(\displaystyle{ H}\) na działanie grupowe, czyli (jak napisał arek1357) ze spełnianiem warunku \(\displaystyle{ (\forall a,b\in H)a\cdot b^{-1}\in H}\).

Natomiast jeśli \(\displaystyle{ H \subseteq G}\) i wiemy skądinąd, że \(\displaystyle{ H}\) jest grupą z tym samym działaniem, co w grupie \(\displaystyle{ G}\), to ponieważ warunek \(\displaystyle{ (\forall a,b\in H)a\cdot b^{-1}\in H}\) jest oczywiście trywialnie spełniony, więc pytanie "czy \(\displaystyle{ H}\) jest podgrupą \(\displaystyle{ G}\)" jest puste, stąd zdziwienie

Więc co chcesz udowodnić?

JK