Operator rzutu

[xyzxyz]

Cześć! Zagadnienie krótkie, ale jednak wymagające - oto treść:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ P_{1}}\) i \(\displaystyle{ P_{2}}\) są operatorami rzutu, takimi że: \(\displaystyle{ P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ I-P_{1}-P_{2}}\) jest operatorem rzutu.

Z definicji można napisać, że jeżeli \(\displaystyle{ P}\) jest odwzorowaniem liniowym, to będzie on operatorem rzutu, jeśli \(\displaystyle{ P^2=P}\). Zatem można dojść do wniosku, że należy wykazać, że \(\displaystyle{ (I-P_{1}-P_{2})^2=I-P_{1}-P_{2}}\) ? Nie wiem, czy dobrze to rozumiem, ale mam aktualnie coś takiego: \(\displaystyle{ (I-P_{1}-P_{2})^2 = (I-P_{1})^2 -2(I-P_{1})P_{2} + P_{2}^2 = I^2 - 2IP_{1} + P_{1}^2 - 2IP_{2} + 2P_{1}P_{2} + P_{2}^2 = I^2 + P_{1}^2 + P_{2}^2 - 2I(P_{1} + P_{2}) = ... ?}\)

[Janusz Tracz]

Skoro taka jest definicja to trzeba wykazać, że \(\displaystyle{ I-P_{1}-P_{2}}\) jest liniowy oraz tak jak mówisz \(\displaystyle{ (I-P_{1}-P_{2})^2=I-P_{1}-P_{2}}\). Liniowość wynika od razu z liniowości \(\displaystyle{ P_1}\) oraz \(\displaystyle{ P_2}\) no i \(\displaystyle{ I}\) (czyli jak się domyślam identyczności) i oczywiście faktu że kombinacja liniowa operatorów liniowych jest operatorem liniowym. A \(\displaystyle{ (I-P_{1}-P_{2})^2=I-P_{1}-P_{2}}\) wynika z rachunków. Można podziałać na \(\displaystyle{ x}\) takim operatorem

\(\displaystyle{ (I-P_{1}-P_{2})^2x=(I-P_{1}-P_{2})\circ (I-P_{1}-P_{2}) x }\)

\(\displaystyle{ =(I-P_{1}-P_{2})(x-P_1x-P_2x)=x-P_1x-P_2x -P_1(x-P_1x-P_2x)-P_2(x-P_1x-P_2x) }\)

\(\displaystyle{ =x-P_1x-P_2x - P_1x+P_1P_1x+P_1P_2x-P_2x+P_2P_1x-P_2P_2x}\)

umiesz dokończyć? Wskazówka: prawie wszystko się poredukuje.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ (I-P_{1}-P_{2})^2 = (I-P_{1})^2 -2(I-P_{1})P_{2} + P_{2}^2}\)

W zasadzie to przejście jest niepoprawne, bo gdy mnożenie jest nieprzemienne, to wzór na kwadrat różnicy to

\(\displaystyle{ (A-B)^2 = A^2 - (AB+BA) + B^2}\)

i nie zawsze jest to równe \(\displaystyle{ A^2 - 2AB + B^2}\). Ale mimo wszystko odpowiednie rachunki dość szybko dają to co trzeba:

\(\displaystyle{ \begin{align*}
(I-P_1-P_2)^2 & = (I-P_1-P_2)(I-P_1-P_2) \\
& = I^2 - P_1 I - P_2 I - IP_1 + (P_1)^2 - P_2 P_1 - I P_2 + P_1 P_2 + (P_2)^2 \\
& = I - P_1 - P_2 - P_1 + P_1 - 0 - P_2 + 0 + P_2 \\
& = I - P_1 - P_2
\end{align*}}\)

[xyzxyz]

Można podziałać na \(\displaystyle{ x}\) takim operatorem

Chyba sobie uświadomiłem, że w zasadzie nie wiem jak traktować tutaj \(\displaystyle{ I}\) i jakich działań i własności mogę użyć na tym. Mogę traktować to jako "element neutralny"? Wtedy moje początkowe przekształcenia znacznie się uproszczą, bo zniknie mi \(\displaystyle{ I}\) przed nawiasem.

Co do dalszego rozwiązania Twoim sposobem chyba się udało - chyba tylko zamiast minusa, powinien być plus w Twoim ostatnim, przekształceniu :]
\(\displaystyle{ ...= x - 2P_{1}x-2P_{2}x+P_{1}^2x+P_{2}^2x = x - 2P_{1}x - 2P_{2}x + P_{1}x + P_{2}x = x - P_{1}x - P_{2}x = (I-P_{1}-P_{2})x}\)

Dodano po 1 minucie 45 sekundach:

Ale mimo wszystko odpowiednie rachunki dość szybko dają to co trzeba:

\(\displaystyle{ \begin{align*}
(I-P_1-P_2)^2 & = (I-P_1-P_2)(I-P_1-P_2) \\
& = I^2 - P_1 I - P_2 I - IP_1 + (P_1)^2 - P_2 P_1 - I P_2 + P_1 P_2 + (P_2)^2 \\
& = I - P_1 - P_2 - P_1 + P_1 - 0 - P_2 + 0 + P_2 \\
& = I - P_1 - P_2
\end{align*}}\)

Faktycznie - zapędziłem się z tym wzorem. Natomiast jak powinienem traktować \(\displaystyle{ I}\)? Niestety tylko wzmiankę o operatorach i identyczności miałem ponad 2 lata temu i nie wiem jak się z tym obchodzić. Traktować to jako "element neutralny"? Widzę, że nic on tak na prawdę nie zmienia przy mnożeniu itp.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ I}\) jest elementem neutralnym mnożenia, tj. \(\displaystyle{ AI = IA = A}\) dla dowolnej macierzy \(\displaystyle{ A}\) (odpowiednich wymiarów).

[Janusz Tracz]

Można podziałać na \(\displaystyle{ x}\) takim operatorem

Chyba sobie uświadomiłem, że w zasadzie nie wiem jak traktować tutaj \(\displaystyle{ I}\) i jakich działań i własności mogę użyć na tym. Mogę traktować to jako "element neutralny"? Wtedy moje początkowe przekształcenia znacznie się uproszczą, bo zniknie mi \(\displaystyle{ I}\) przed nawiasem.

Co do dalszego rozwiązania Twoim sposobem chyba się udało - chyba tylko zamiast minusa, powinien być plus w Twoim ostatnim, przekształceniu :]
\(\displaystyle{ ...= x - 2P_{1}x-2P_{2}x+P_{1}^2x+P_{2}^2x = x - 2P_{1}x - 2P_{2}x + P_{1}x + P_{2}x = x - P_{1}x - P_{2}x = (I-P_{1}-P_{2})x}\)

Co do \(\displaystyle{ I}\) i Twojego rozwiązania to Dasio11 wyjaśnił już sprawę (*). Ja się wcześniej do tego nie odniosłem bo edytowałeś post chwilę przed tym jak ja wysłałem odpowiedź na Twoje lekko inne pytanie. A jeśli chodzi o dokończenie mojej propozycji to jest ok i tak w jednym miejscu zrobiłem literówkę i zamiast \(\displaystyle{ -}\) powinien być \(\displaystyle{ +}\). Poza tym jak chcesz być formalny to trzeba się na koniec powołać na równoważność, że funkcja \(\displaystyle{ f:X\to X}\) jest równa funkcji \(\displaystyle{ g:X\to X}\) iff \(\displaystyle{ (\forall x\in X)f(x)=g(x)}\). Więc przyjmując \(\displaystyle{ f=(I-P_{1}-P_{2})^2}\) oraz \(\displaystyle{ g=I-P_{1}-P_{2}}\) wystarczy faktycznie sprawdzić, że na dowolnym \(\displaystyle{ x}\) wartości się zgadzają. Rachunek pokazał, że tak jest. Wybrałem to podejście bo w nim faktycznie coś liczysz, a nie przekształcasz operatory zgodnie z regułami które trzeba pamiętać ale to nie ma znaczenia jak to zrobisz.

*choć osobiście nie powiedział bym, że \(\displaystyle{ I}\) to macierz. Raczej \(\displaystyle{ I:X\to X}\) to operator identycznościowy może mieć reprezentację macierzową ale to inna spraw. Podobnie \(\displaystyle{ P_1,P_2}\). Oczywiście nie wykluczam możliwości, że to są macierze tylko to działa ogólniej.