Let \(\displaystyle{ (G, \cdot)}\) be a group. Describe it as a category \(\displaystyle{ C}\) with \(\displaystyle{ Obj(C) = \{G\}}\) (one object) and the set of arrows \(\displaystyle{ Arr(C) = G}\). In particular determine how the composition works and what is the identity arrow.
Potrzebuje zrozumienia owego zadania.
Porsze mine poprawić jeśli źle rozumuję. Grupa sama w sobie może posiadac wiele elementów np \(\displaystyle{ (\NN, 1, \cdot )}\).
Ale kategorię traktujemy jako coś bardziej ogólego. Z informatycznego punktu widzenia taki typ generyczny(?).
"how the composition works" - skoro mamy jeden element to wszystkie strzałki są zdefiniowane jako \(\displaystyle{ f : G \rightarrow G }\)
więc kompozycja nic nie zmieni.
"what is the identity arrow" - nie wiem jak ją opisać. Jak dla mnie na diagramie jest to pukt z pętlą.
Category theory
-
- Użytkownik
- Posty: 307
- Rejestracja: 5 sty 2016, o 13:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 118 razy
- Pomógł: 2 razy
Category theory
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 14:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Flype
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 21 sty 2022, o 23:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 27
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 6 razy
Re: Category theory
Musisz sprawdzić, czy \(\displaystyle{ C}\) spełnia aksjomaty kategorii (spełnia): że składanie strzałek jest łączne i że istnieje „identity arrow”, czyli strzałka, która złożona z inną strzałką nie zmienia tej drugiej. Tę strzałkę można na przykład wskazać paluchem.
Formalnie:
- dla każdych trzech strzałek \(\displaystyle{ f \colon a \to b, g \colon b \to c, h \colon c \to d}\) zachodzi \(\displaystyle{ (hg)f = h(gf)}\)
- dla każdego obiektu (my mamy tylko jeden) \(\displaystyle{ x}\) istnieje strzałka \(\displaystyle{ 1_x}\) taka, że dla każdych dwóch strzałek \(\displaystyle{ f \colon x \to y}\) oraz \(\displaystyle{ g \colon z \to x}\) zachodzi \(\displaystyle{ 1_x g = g}\) oraz \(\displaystyle{ f 1_x = f}\).
Formalnie:
- dla każdych trzech strzałek \(\displaystyle{ f \colon a \to b, g \colon b \to c, h \colon c \to d}\) zachodzi \(\displaystyle{ (hg)f = h(gf)}\)
- dla każdego obiektu (my mamy tylko jeden) \(\displaystyle{ x}\) istnieje strzałka \(\displaystyle{ 1_x}\) taka, że dla każdych dwóch strzałek \(\displaystyle{ f \colon x \to y}\) oraz \(\displaystyle{ g \colon z \to x}\) zachodzi \(\displaystyle{ 1_x g = g}\) oraz \(\displaystyle{ f 1_x = f}\).