Ciąg w pierścieniu

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że warunkiem równowążnym aby ciąg \(\displaystyle{ 1, a, a^2,...}\) był arytmetyczny tj. aby \(\displaystyle{ 1-a = a-a^2 = a^2-a^3=...}\) dla elementu \(\displaystyle{ a \in A}\) pierścienia z jednynką jest aby \(\displaystyle{ (1-a)^2=0}\)

[Dasio11]

Czego tu dowodzić? Warunek \(\displaystyle{ (1-a)^2 = 0}\) jest trywialnie równoważny pierwszej równości z ciągu \(\displaystyle{ 1-a = a-a^2 = a^2-a^3 = \ldots}\), a następne wynikają z pierwszej po obustronnym pomnożeniu przez \(\displaystyle{ a^k}\).