Matematyka.pl

Wskazać przykład nieabelowej grupy \(\displaystyle{ G}\) takiej, że \(\displaystyle{ (xy)^3= x^3 y^3}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in G}\).

Grupa macierzy górno-trójkątnych z elementami ciała \(\displaystyle{ \ZZ_{3}}\)


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}^3=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

Co łatwo sprawdzić... więc zachodzi:

\(\displaystyle{ (xy)^3=x^3y^3=I}\)

a nie jest abelowa bo:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&1&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

a na odwrót:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

Jest to natomiast macierz potencjalnie abelowa...

cnd...

Pokaże wzór dość ciekawy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&d&e\\0&1&f\\0&0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&a+d&b+af+e\\0&1&c+f\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

Odwrotnie:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&d&e\\0&1&f\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&a+d&b+cd+e\\0&1&c+f\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

Więc jeżeli muszą się już różnić choć też nie zawsze to prawym górnym rogiem...


Jeszcze dopiszę, że macierze dolnotrójkątne też spełniają warunki tego zadania , wychodzi na to samo...