Prawie abelowa
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11266
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3143 razy
- Pomógł: 747 razy
Prawie abelowa
Wskazać przykład nieabelowej grupy \(\displaystyle{ G}\) takiej, że \(\displaystyle{ (xy)^3= x^3 y^3}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in G}\).
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Prawie abelowa
Grupa macierzy górno-trójkątnych z elementami ciała \(\displaystyle{ \ZZ_{3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}^3=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Co łatwo sprawdzić... więc zachodzi:
\(\displaystyle{ (xy)^3=x^3y^3=I}\)
a nie jest abelowa bo:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&1&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
a na odwrót:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Jest to natomiast macierz potencjalnie abelowa...
cnd...
Pokaże wzór dość ciekawy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&d&e\\0&1&f\\0&0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&a+d&b+af+e\\0&1&c+f\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Odwrotnie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&d&e\\0&1&f\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&a+d&b+cd+e\\0&1&c+f\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Więc jeżeli muszą się już różnić choć też nie zawsze to prawym górnym rogiem...
Jeszcze dopiszę, że macierze dolnotrójkątne też spełniają warunki tego zadania , wychodzi na to samo...
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}^3=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Co łatwo sprawdzić... więc zachodzi:
\(\displaystyle{ (xy)^3=x^3y^3=I}\)
a nie jest abelowa bo:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&1&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
a na odwrót:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&2\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Jest to natomiast macierz potencjalnie abelowa...
cnd...
Pokaże wzór dość ciekawy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&d&e\\0&1&f\\0&0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&a+d&b+af+e\\0&1&c+f\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Odwrotnie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&d&e\\0&1&f\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&a+d&b+cd+e\\0&1&c+f\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Więc jeżeli muszą się już różnić choć też nie zawsze to prawym górnym rogiem...
Jeszcze dopiszę, że macierze dolnotrójkątne też spełniają warunki tego zadania , wychodzi na to samo...