Moduł, grupa abelowa, pierścień przemienny.
- epicka_nemesis
- Użytkownik
- Posty: 419
- Rejestracja: 27 gru 2010, o 00:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 28 razy
Moduł, grupa abelowa, pierścień przemienny.
Moi drodzy Forumowicze. Sprawa jest taka. Otóż staram się zrozumieć pojęcie modułu. Wikipedia podaje, że zaczęło się od Kroneckera, który „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; wynikało to z pewnych dwóch obserwacji, które doprowadziły ostatecznie do przyjęcia współcześnie stosowanej definicji. Odniosę się najpierw do tej pierwszej otóż: dowolną grupę abelową można przekształcić w pierścień przemienny przyjmując ab=0 dla każdego a, b należącego do G. Co to znaczy "przyjmując"? przecież w dowolnej grupoie abelowej i w dowolnym pierścieniu nie zawsze ab=0. Jak wymusić na elementach tej grupy taką własność? przecież nie musi ona zachodzić w dowolnejgrupie? czy to nie jest czasem tak, że w mnożeniu (jeśli chodzi o zwykły iloczyn) wynik jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy choć jeden z czynników jest równy 0?
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Moduł, grupa abelowa, pierścień przemienny.
To znaczy, że definiujemy działanie "mnożenia" w ten właśnie sposób.epicka_nemesis pisze: ↑16 lis 2021, o 16:45 dowolną grupę abelową można przekształcić w pierścień przemienny przyjmując ab=0 dla każdego a, b należącego do G. Co to znaczy "przyjmując"?
1. W grupie abelowej (w notacji addytywnej) nie jest określone mnożenie. 2. Nie twierdzimy przecież, że w ten sposób otrzymamy dowolny pierścień.przecież w dowolnej grupoie abelowej i w dowolnym pierścieniu nie zawsze ab=0.
No właśnie jeśli tak zdefiniujemy, to będzie tak w powstałym pierścieniu dla dowolnej grupy (pamiętajmy, że sama grupa ma tylko działanie dodawania).Jak wymusić na elementach tej grupy taką własność? przecież nie musi ona zachodzić w dowolnejgrupie?
Zwykły iloczyn jak najbardziej tak, ale tutaj nie dostaniemy zwykłego iloczynu.czy to nie jest czasem tak, że w mnożeniu (jeśli chodzi o zwykły iloczyn) wynik jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy choć jeden z czynników jest równy 0?
- epicka_nemesis
- Użytkownik
- Posty: 419
- Rejestracja: 27 gru 2010, o 00:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 28 razy
Re: Moduł, grupa abelowa, pierścień przemienny.
A jaki?
1) Czyli bierzemy wszystkie elementy z grupy abelowej \(\displaystyle{ G}\) i przekształcamy go w pierścień w ten sposób, że każdy element z każdym innym tworzy iloczyn \(\displaystyle{ ab=0}\)?
2) Jaki to ma związek z powstawaniem modułów?
Ostatnio zmieniony 16 lis 2021, o 20:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11378
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Re: Moduł, grupa abelowa, pierścień przemienny.
Moduł \(\displaystyle{ M }\) jest uogólnieniem idei przestrzeni wektorowej nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), gdzie zamiast ciała \(\displaystyle{ K }\) jest pierścień \(\displaystyle{ R}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Moduł, grupa abelowa, pierścień przemienny.
Używasz bardzo nieprecyzyjnego języka, ale z grubsza tak.epicka_nemesis pisze: ↑16 lis 2021, o 20:01 1) Czyli bierzemy wszystkie elementy z grupy abelowej \(\displaystyle{ G}\) i przekształcamy go w pierścień w ten sposób, że każdy element z każdym innym tworzy iloczyn \(\displaystyle{ ab=0}\)?
Typowymi przykładami modułów są ideały pierścienia z jedynką. Z drugiej strony (wg Wikipedii) Kronecker nazywał modułami podgrupy grup abelowych. Jeśli w grupie abelowej wprowadzimy działanie mnożenia według wzoru \(\displaystyle{ a\cdot b=0}\), powstaje nam pierścień, którego ideały to właśnie podgrupy wyjściowej grupy. Uwaga: Powstały pierścień nie ma jedynki, przez co jego ideały (czyli podgrupy wyjściowej grupy) nie są modułami w sensie współczesnej definicji (wg Wikipedii).2) Jaki to ma związek z powstawaniem modułów?
- epicka_nemesis
- Użytkownik
- Posty: 419
- Rejestracja: 27 gru 2010, o 00:05
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznan
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 28 razy
Re: Moduł, grupa abelowa, pierścień przemienny.
Tyle wiem z Wikipedii. Chociaż... dobrze, że zwracasz na to uwagę, to porządkuje moje informacje w głowiemol_ksiazkowy pisze: ↑17 lis 2021, o 09:10 Moduł \(\displaystyle{ M }\) jest uogólnieniem idei przestrzeni wektorowej nad ciałem \(\displaystyle{ K}\), gdzie zamiast ciała \(\displaystyle{ K }\) jest pierścień \(\displaystyle{ R}\).
matmatmm trochę mi jaśniej w głowie. Dzięki. Zauważyłam tą różnicę w definicjach, nie wiem tylko czym była spowodowana. Pytanie więc dalsze- dlaczego współczesna definicja różni się od tej Kroneckera?
Dziękuję Wam obu i może znacie odpowiedź na moje kolejne pytanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Moduł, grupa abelowa, pierścień przemienny.
Z mojego punktu widzenia wprowadzanie nowej nazwy na podgrupy grup abelowych niewiele wnosi, bo nie wprowadzamy w ten sposób żadnej nowej struktury. Z drugiej strony współczesna definicja modułu obejmuje wiele różnych struktur.epicka_nemesis pisze: ↑17 lis 2021, o 21:28 Pytanie więc dalsze- dlaczego współczesna definicja różni się od tej Kroneckera?