Homomorfizm, jądro, podgrupa

[guserd]

Niech \( G \) i \( H \) będą grupami oraz \( f : G \rightarrow H \) homomorfizmem.
(a) Pokaż, że : \( g(ker(f))g^{-1} = ker(f), \forall g \in G \) .
(b) Pokaż, że nie każda podgrupa \( U \subseteq G \) spełnia : \( gUg^{-1} = U, \forall g \in G \)

W podpunkcie a skorzystałem z tego, że \(ker(f) \) jest podgrupą normalną, a więc:
\( g(ker(f))g^{-1} = (ker(f))gg^{-1} = ker(f)e = ker(f) \), czy to poprawne rozwiązanie?

Co do podpunktu b - nie wiem zbytnio z czego powinienem skorzystać. Za każde wskazówki będę bardzo wdzięczny.

[a4karo]

Czyli pokazałeś że jądro jest podgrupą normalną korzystając z faktu, że jądro jest podgrupą normalną.

[guserd]

Nie do końca rozumiem, ale wychodzę z założenia, że rozwiązanie nie jest poprawne. Mógłby Pan rozwinąć swoją odpowiedź? I jeśli byłoby to możliwe to dać jakąś wskazówkę jak poprawnie to rozwiązać?

[Jan Kraszewski]

Nie do końca rozumiem, ale wychodzę z założenia, że rozwiązanie nie jest poprawne.

Zrobiłeś dowód przez założenie tezy - powołałeś się na to, co miałeś udowodnić.

JK

[arek1357]

Zrobiłeś dowód przez założenie tezy - powołałeś się na to, co miałeś udowodnić.

Szczerze powiedziawszy mimo iż niepoprawnie ale bardzo sprytne oszustwo z klasą...

[guserd]

Jak zatem powinienem to udowodnić? Być może jakakolwiek wskazówka na początek?

[arek1357]

Wylicz:

\(\displaystyle{ f(xgx^{-1})}\)

gdzie g element jądra, x dowolny

[Jan Kraszewski]

Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ g\in G}\) i masz pokazać, że \(\displaystyle{ g(\ker(f))g^{-1}=\ker f,}\) czyli np. \(\displaystyle{ g(\ker(f))g^{-1} \subseteq \ker f}\) i \(\displaystyle{ \ker (f) \subseteq g(\ker(f))g^{-1}.}\)

Żeby pokazać, że \(\displaystyle{ \ker (f) \subseteq g(\ker(f))g^{-1}}\) ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x\in \ker (f)}\) i chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ x\in g(\ker(f))g^{-1}}\), czyli że istnieje \(\displaystyle{ y\in \ker(f)}\) takie, że \(\displaystyle{ x=gyg^{-1}}\). Niech \(\displaystyle{ y=g^{-1}xg}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(y)=f(g^{-1}xg)=f(g^{-1})f(x)f(g)}\) (bo \(\displaystyle{ f}\) jest homomorfizmem). Ponadto z zał. \(\displaystyle{ x\in \ker (f)}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)=e_H}\), więc \(\displaystyle{ f(g^{-1})f(x)f(g)=f(g^{-1})e_Hf(g)=f(g^{-1})f(g)=f(g^{-1}g)=f(e_G)=e_H}\), czyli \(\displaystyle{ y=g^{-1}xg\in\ker(f)}\). Ponadto zachodzi \(\displaystyle{ x=gyg^{-1}}\) (bo \(\displaystyle{ gyg^{-1}=g(g^{-1}xg)g^{-1})=(gg^{-1})x(gg^{-1})=e_Gxe_G=x}\)) i już.

Postaraj się sam pokazać drugie zawieranie.

JK

[guserd]

Próbowałem, ale teraz analizując kolejny raz dowód przedstawiony przez Pana doszedłem do wniosku, że chyba nie rozumiałem go poprawnie i mam problem z poniższą częścią:

i chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ x\in g(\ker(f))g^{-1}}\), czyli że istnieje \(\displaystyle{ y\in \ker(f)}\) takie, że \(\displaystyle{ x=gyg^{-1}}\).

dlaczego jeżeli chcę pokazać: \( x\in g(\ker(f))g^{-1} \Leftrightarrow \) istnieje \( y \in ker(f) \) takie, że \( x = gyg^{-1} \)
Resztę rozumiem, ale tutaj korzystamy z jakiejś własności, definicji?

[Jan Kraszewski]

Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie podgrupą grupy \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ g\in G}\). Wtedy zapis \(\displaystyle{ gHg^{-1}}\) oznacza zbiór \(\displaystyle{ \{ghg^{-1}:h\in H\}}\). To zaś jest zbiór opisany za pomocą operacji i należenie do tego zbioru oznacza bycie postaci \(\displaystyle{ ghg^{-1}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ h\in H}\):

\(\displaystyle{ x\in \{ghg^{-1}:h\in H\}\iff (\exists h\in H)x=ghg^{-1}.}\)

JK

[guserd]

Wydaje mi się, że w końcu mi się udało!
Chociaż do końca nie jestem pewien czy znowu źle nie skorzystałem z założenia.

\( g(ker(g))g^{-1} \subseteq ker(f) \)
dowód:
Niech \( x \in g(ker(f))g^{-1} \) dowolne
Do pokazania: \( x \in ker(f) \), a więc \( f(x) = e_{H} \)

\( x \in g(ker(f)g^{-1} \iff \exists y \in ker(f) \), taki że \( x = gyg^{-1} \)
A więc: \( f(x) = f(gyg^{-1}) = f(g)f(y)f(g^{-1}) = f(g)e_{H}f(g^{-1}) \) [bo \( y \in ker(f) \)] \( = f(g)f(g^{-1}) = f(gg^{-1}) = f(e_{G}) = e_{H} \)
Zatem: \( f(x) = e_{H} \Rightarrow x \in ker(f) \)
Czy to poprawnie dokańcza dowód?

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK