Znajdywanie działania na zbiorze

[oklahoma123]

Jak rozwiązać zadanie typu:
Znaleźć działanie \(\displaystyle{ \diamondsuit}\) na zbiorze \(\displaystyle{ G = \{0,1,2,3,4,5\}}\), takie, żeby \(\displaystyle{ \left( G,\diamondsuit\right)}\) było nieprzemienną grupą.

Rozumiem, że musimy znaleźć działanie na \(\displaystyle{ G}\) spełniające takie warunki:
- Dla każdego \(\displaystyle{ a,b \in G}\), wynik \(\displaystyle{ a \diamondsuit b}\) musi znajdować się w \(\displaystyle{ G}\)
- Łączność: Dla każdego \(\displaystyle{ a,b,c \in G\ (a \diamondsuit b) \diamondsuit c = a \diamondsuit (b \diamondsuit c)}\)
- \(\displaystyle{ a \diamondsuit e = a}\) oraz \(\displaystyle{ e \diamondsuit a = a}\), \(\displaystyle{ e \in G}\)
- Dla każdego \(\displaystyle{ a \in G}\) istnieje takie \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ a \diamondsuit b = e}\) oraz \(\displaystyle{ b \diamondsuit a = e}\)
- \(\displaystyle{ a \diamondsuit b \neq b \diamondsuit a}\)

Czy można rozwiązać to poprzez narysowanie tabelki działania \(\displaystyle{ \diamondsuit}\), z której wynika np., że \(\displaystyle{ 0}\) to element neutralny, każdy element jest odwrotny do samego siebie, nie ma przemienności? Jak wtedy zadbać by spełniona była łączność?
Czy może jest jakiś inny lepszy sposób niż tabelka?

[Jan Kraszewski]

Czy może jest jakiś inny lepszy sposób niż tabelka?

Jest tylko jedna sześcioelementowa grupa nieabelowa (z dokładnością do izomorfizmu), czyli grupa grupa permutacji zbioru trzyelementowego \(\displaystyle{ S_3.}\) Jest zatem jedyny sposób, w jaki możesz zdefiniować działanie \(\displaystyle{ \diamondsuit}\). Najprościej ustalić bijekcję pomiędzy zbiorem \(\displaystyle{ G}\) a \(\displaystyle{ S_3}\) i przenieść strukturę.

JK