Dowód istnienia pierwiastka e stopnia n z 1 taki, że każdy inny pierwiastek n-tego stopnia z 1 jest jego potęgą

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
stefcio2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 15 sie 2019, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piotrków Tryb
Podziękował: 6 razy

Dowód istnienia pierwiastka e stopnia n z 1 taki, że każdy inny pierwiastek n-tego stopnia z 1 jest jego potęgą

Post autor: stefcio2 »

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną, a \(\displaystyle{ K}\) dowolnym ciałem. W ciele \(\displaystyle{ K}\) istnieje taki pierwiastek e stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\), że każdy pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) (należący do ciała \(\displaystyle{ K}\)) jest potęgą elementu \(\displaystyle{ e}\)
Dowód:
Każdy pierwiastek \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia nie większego od \(\displaystyle{ n}\).
Niech element \(\displaystyle{ e \in K}\) będzie takim pierwiastkiem \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\), który jest pierwiastkiem pierwotnym największego stopnia (wśród pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ n}\) z \(\displaystyle{ 1}\)).
Niech element e będzie pierwiastkiem pierwotnym stopnia m
Niech e' będzie dowolnym pierwiastkiem \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\) (należącym do K).
Wystarczy wykazać, że e' jest pierwiastkiem stopnia m, a więc, że jeżeli e' jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia m', to m' dzieli m.
Niech \(\displaystyle{ d = NWD(m, m')}\)
Wówczas \(\displaystyle{ (e')^{d}}\) jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia \(\displaystyle{ k= \frac{m'}{d} }\) (por. zadanie 2 (Tam było do wykazania, że jeśli \(\displaystyle{ e}\) jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ e^{m}}\) jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia \(\displaystyle{ n' = \frac{n}{NWD(m,n)}}\) ))
Przy tym \(\displaystyle{ \textbf{NWD(k, m) = 1}}\).
Z lematu 7.11 wynika, że iloczyn \(\displaystyle{ e(e')^{d}}\) jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia \(\displaystyle{ mk}\)
(...)
Nie rozumiem skąd się wzięło to, co pogrubiłem.
Żeby lemat 7.11 zadziałał, potrzebne jest aby liczby \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m}\) były względnie pierwsze. Ale ja nie rozumiem, skąd wiadomo, że one są względnie pierwsze?
ODPOWIEDZ