Algebra Liego

[Iza8723]

Wykaż, że \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) z iloczynem wektorowym jest algebrą Liego.
Czy ktoś mógłby mi pomóc to rozpisać, warunki na algbrę Liego znam, ale nie wiem jak to zacząc rozpisywać

[Janusz Tracz]

Na przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \RR^3}\) (pewnie domyślnie nad \(\displaystyle{ \RR}\) choć \(\displaystyle{ \CC}\) pewnie też może być) określasz nawias Liego \(\displaystyle{ \left[ \cdot , \cdot \right]:\RR^3 \times \RR^3\to \RR^3 }\) wzorem

\(\displaystyle{ \left[ x, y \right]=x \times y}\)

i sprawdzasz czy iloczyn wektorowy ma potrzebne własności aby \(\displaystyle{ \left( \RR^3,\left[ \cdot , \cdot \right] \right) }\) była algebrą Liego. Czyli czy

• działanie \(\displaystyle{ \times }\) jest dwuliniowe

wskazówka:    

Do sprawdzenia masz, czy dla każdych \(\displaystyle{ x,y\in\RR^3}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in\RR}\) zachodzą równości

\(\displaystyle{ [\alpha x+\beta z,y]=\alpha [x,y]+\beta [z,y]}\)

\(\displaystyle{ [x,\alpha y+\beta z]=\alpha [x,y]+\beta [x,z]}\)

aby to sprawdzić można po prostu przerachować lewą i prawą stronę stosując wzór na iloczyn wektorowy

\(\displaystyle{ x \times y={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}}\)

albo zapisać zauważyć, że dwuliniowość nawiasu Liego w tym przypadku to

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wyznacznik#Definicja_aksjomatyczna

które niektóre definicje przyjmują za pewnik.

• działanie jest antysymetryczne

wskazówka:    

Podobnie jak wcześniej można to przerachować. Można też pamiętać fakt z algebry liniowej, że jak się zamienia wiersze w wyznaczniku to zmienia się jego znak czyli

\(\displaystyle{ x \times y={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{vmatrix}}=-\left[ y,x\right] }\)

• spełniona jest tożsamość Jacobiego to znaczy, czy \(\displaystyle{ \left( \forall x,y,z\in \RR^3\right) \left[x,[y,z]\right]+\left[y,[z,x]\right]+\left[z,[x,y]\right]=0}\)

Można ustalić \(\displaystyle{ x,y,z}\) i przerachować ale to dużo liczenia. Można też powołać się na

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_wektorowy

\(\displaystyle{ \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}\)