Sześcian elementu

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest grupą skończoną, której rząd nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\) oraz \(\displaystyle{ (ab)^3 = a^3b^3}\) dla \(\displaystyle{ a, b \in G}\), to \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa.

[timon92]

dla dowolnych \(a,b\in G\) jest \(a^3b^3=(ab)^3=ababab \implies a^2b^2=baba=(ba)^2\)

stąd dla dowolnych \(a,b\in G\) jest \(a^4b^4=(a^2)^2(b^2)^2=(b^2a^2)^2=((ab)^2)^2=(ab)^4\ = ab(ab)^3=aba^3b^3 \implies a^3b=ba^3\)

rząd grupy nie dzieli się przez \(3\), więc odwzorowanie \(t\mapsto t^3\) jest bijekcją, więc powyższe oznacza, że \(ab=ba\) dla wszystkich \(a,b\in G\)