Sześcian elementu
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Sześcian elementu
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest grupą skończoną, której rząd nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3}\) oraz \(\displaystyle{ (ab)^3 = a^3b^3}\) dla \(\displaystyle{ a, b \in G}\), to \(\displaystyle{ G}\) jest abelowa.
Ostatnio zmieniony 27 wrz 2021, o 10:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: Sześcian elementu
dla dowolnych \(a,b\in G\) jest \(a^3b^3=(ab)^3=ababab \implies a^2b^2=baba=(ba)^2\)
stąd dla dowolnych \(a,b\in G\) jest \(a^4b^4=(a^2)^2(b^2)^2=(b^2a^2)^2=((ab)^2)^2=(ab)^4\ = ab(ab)^3=aba^3b^3 \implies a^3b=ba^3\)
rząd grupy nie dzieli się przez \(3\), więc odwzorowanie \(t\mapsto t^3\) jest bijekcją, więc powyższe oznacza, że \(ab=ba\) dla wszystkich \(a,b\in G\)
stąd dla dowolnych \(a,b\in G\) jest \(a^4b^4=(a^2)^2(b^2)^2=(b^2a^2)^2=((ab)^2)^2=(ab)^4\ = ab(ab)^3=aba^3b^3 \implies a^3b=ba^3\)
rząd grupy nie dzieli się przez \(3\), więc odwzorowanie \(t\mapsto t^3\) jest bijekcją, więc powyższe oznacza, że \(ab=ba\) dla wszystkich \(a,b\in G\)