Podpierścień pierścienia wielomianów nie będący izomorficzny

[stefcio2]

Wskazać taki podpierścień pierścienia \(\displaystyle{ P[x]}\), który zawiera \(\displaystyle{ P}\) i jest różny od \(\displaystyle{ P}\), ale nie jest izomorficzny z \(\displaystyle{ P[x]}\)

Pomyślałem, że takimi podpierścieniami byłyby \(\displaystyle{ P[x^2]}\), \(\displaystyle{ P[x^3]}\) i chyba też \(\displaystyle{ P[x^2,x^3,x^4,x^5,...]}\) (nie wiem czy to dobrze zapisuję) no ale nie udało mi się wykazać czy one nie są izomorficzne ???

[Dasio11]

A czym jest \(\displaystyle{ P}\) ?

[stefcio2]

Jak dobrze zrozumiałem, to:
\(\displaystyle{ P}\) to pierścień wielomianów stałych \(\displaystyle{ (a, 0, 0, ...)}\), \(\displaystyle{ a \in A}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest dowolnym pierścieniem
\(\displaystyle{ P[x]}\) to pierścień wielomianów genereowany przez \(\displaystyle{ P \cup \{x\}}\) gdzie \(\displaystyle{ x = (0,1,0,0,...)}\)

Były tam jeszcze zdefiniowane działania na tych wielomianach:
jeśli \(\displaystyle{ f = (f_0,f_1,f_2,...)}\), \(\displaystyle{ g = (g_0,g_1,g_2,...)}\), to
\(\displaystyle{ f + g = (f_0+g_0,f_1+g_1,f_2+g_2,...)}\)
\(\displaystyle{ f \cdot g = h}\), gdzie \(\displaystyle{ h_n = \sum_{j=1}^{n} f_{n-j}g_j}\)

[Dasio11]

Jeśli wybór pierścienia \(\displaystyle{ P}\) leży w gestii rozwiązującego, to dobrym wyborem jest \(\displaystyle{ \RR[x^2, x^3]}\) jako podpierścień \(\displaystyle{ \RR[x]}\) - nie mogą one być izomorficzne, bo tylko ten drugi jest UFD.