pierścień i jego własności

[ann_u]

Niech \(\displaystyle{ (A,+,\cdot)}\) bedzie pierścieniem mającym własnosci:
\(\displaystyle{ xy=1 \Rightarrow yx=1}\),
\(\displaystyle{ B=\{x \in A: x^2+1=0\}\neq \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ ax=xa\ \forall x \in B,\ \forall a \in A}\)
Pokaż ze jeśli \(\displaystyle{ a,b \in A}\) gdzie \(\displaystyle{ a^3+b^3=0}\) to \(\displaystyle{ ab=1+b^2a^2 \iff ba=1+a^2b^2.}\)

[Bran]

Definiujesz zbiór \(\displaystyle{ B}\), żeby z niego później nie skorzystać. Czy zadanie na pewno jest dobrze przepisane?

[Dasio11]

Przyjrzyj się dokładnie - zbiór \(\displaystyle{ B}\) występuje w jednym z założeń.

[timon92]

ustalmy jakikolwiek \(x\) spełniający \(x^2+1=0\) i załóżmy, że \(a^3+b^3=0\) i \(ab=1+b^2a^2\)

mamy \(1=ab-b^2a^2 = ab -b^2a^2 + x(a^3+b^3) = ab+a^3x+b^2xb+b^2xa^2x = (a+b^2x)(b+a^2x)\), więc na mocy założeń mamy też \(1=(b+a^2x)(a+b^2x)\), tj. \(1=ba+b^3x+a^2xa+a^2xb^2x=ba-a^2b^2\)

dowód w drugą stronę jest oczywiście analogiczny