Niech \(\displaystyle{ (A,+,\cdot)}\) bedzie pierścieniem mającym własnosci:
\(\displaystyle{ xy=1 \Rightarrow yx=1}\),
\(\displaystyle{ B=\{x \in A: x^2+1=0\}\neq \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ ax=xa\ \forall x \in B,\ \forall a \in A}\)
Pokaż ze jeśli \(\displaystyle{ a,b \in A}\) gdzie \(\displaystyle{ a^3+b^3=0}\) to \(\displaystyle{ ab=1+b^2a^2 \iff ba=1+a^2b^2.}\)
pierścień i jego własności
-
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
pierścień i jego własności
Ostatnio zmieniony 17 sie 2021, o 12:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: pierścień i jego własności
ustalmy jakikolwiek \(x\) spełniający \(x^2+1=0\) i załóżmy, że \(a^3+b^3=0\) i \(ab=1+b^2a^2\)
mamy \(1=ab-b^2a^2 = ab -b^2a^2 + x(a^3+b^3) = ab+a^3x+b^2xb+b^2xa^2x = (a+b^2x)(b+a^2x)\), więc na mocy założeń mamy też \(1=(b+a^2x)(a+b^2x)\), tj. \(1=ba+b^3x+a^2xa+a^2xb^2x=ba-a^2b^2\)
dowód w drugą stronę jest oczywiście analogiczny
mamy \(1=ab-b^2a^2 = ab -b^2a^2 + x(a^3+b^3) = ab+a^3x+b^2xb+b^2xa^2x = (a+b^2x)(b+a^2x)\), więc na mocy założeń mamy też \(1=(b+a^2x)(a+b^2x)\), tj. \(1=ba+b^3x+a^2xa+a^2xb^2x=ba-a^2b^2\)
dowód w drugą stronę jest oczywiście analogiczny