Cześć, czy ktoś może potrafi udowodnić, że ciało liczb p-adycznych jest ciałem (z definicji ciała) oraz ze dodawanie i mnożenie są dobrze określone i relacje równoważności ?
Dzięki
Liczby p-adyczne
Re: Liczby p-adyczne
Jako dopełnienie \(\displaystyle{ \QQ}\) przez normę \(\displaystyle{ p}\)-adyczną.
Ostatnio zmieniony 28 cze 2021, o 15:54 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10221
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Liczby p-adyczne
Większość tego zadania to żmudne sprawdzanie z definicji. Przykładowo by udowodnić, że relacja \(\displaystyle{ \sim}\) zadana na ciągach Cauchy'ego liczb wymiernych jako
\(\displaystyle{ (x_n) \sim (y_n) \quad \iff \quad \lim_{n \to \infty} \| x_n - y_n \|_p = 0}\)
jest relacją równoważności, należy sprawdzić zwrotność, przechodniość i symetryczność.
Zwrotność jest oczywista, bo dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) ciąg \(\displaystyle{ \| x_n - x_n \|_p}\) składa się wyłącznie z zer, więc też zbiega właśnie do zera. Symetryczność wynika natychmiast z równości \(\displaystyle{ \| x_n - y_n \|_p = \| y_n - x_n \|_p}\), przy przechodniości zaś trzeba skorzystać z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ \| x_n - z_n \|_p \le \| x_n - y_n \|_p + \| y_n - z_n \|_p}\).
\(\displaystyle{ (x_n) \sim (y_n) \quad \iff \quad \lim_{n \to \infty} \| x_n - y_n \|_p = 0}\)
jest relacją równoważności, należy sprawdzić zwrotność, przechodniość i symetryczność.
Zwrotność jest oczywista, bo dla dowolnego ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) ciąg \(\displaystyle{ \| x_n - x_n \|_p}\) składa się wyłącznie z zer, więc też zbiega właśnie do zera. Symetryczność wynika natychmiast z równości \(\displaystyle{ \| x_n - y_n \|_p = \| y_n - x_n \|_p}\), przy przechodniości zaś trzeba skorzystać z nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ \| x_n - z_n \|_p \le \| x_n - y_n \|_p + \| y_n - z_n \|_p}\).