Jak wyznaczyć wszystkie generatory grupy \(\displaystyle{ \phi{(23)}}\) i uzasadnić?
Licze i doliczyc się nie mogę... rząd wychodzi \(\displaystyle{ 22}\).
Biorąc potem \(\displaystyle{ <2>,<3>}\).. i wypisując elementy wychodzi chyba? również po \(\displaystyle{ 22}\), czy wszystkie elementy oprocz \(\displaystyle{ 1}\) będą generatorami? jak uzasadnić? wypisywać wszystkie elementy zajmie wiecznosc..
Generatory grupy
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 11 lis 2020, o 10:50
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
Generatory grupy
Ostatnio zmieniony 16 cze 2021, o 21:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Re: Generatory grupy
Ponieważ \(23\) jest liczbą pierwszą, to \(\Phi(23)=(\ZZ_{23})^{*}\) Jest to grupa rzędu \(22\), więc jej podgrupy właściwe mają rzędy \(2\) lub \(11\). Rząd \(2\) ma taka podgrupa \(\{1,a\}\), dla której \(a^2=1\). Liczymy kwadraty: jedynie \(1^2=1\) oraz \(22^2=1\). Tak więc pozostałe elementy muszą mieć rzędy albo \(11\), albo \(22\).
Zobaczmy na ten kod R.
Rząd \(2\) ma więc tylko \(22\). Rzędy \(11\) mają \(2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\). Elementy, których reszty \(11\)-stych potęg to 22, czyli \(-1\), mają więc rząd \(22\). Są to \(5,7,10,11,14,15,17,19,20,21\). Zatem nasza grupa jest cykliczna.
Do policzenia rzędów można też zastosować twierdzenie Eulera.
Zobaczmy na ten kod R.
Kod: Zaznacz cały
> x<-1:22
> x2<-(x^2)%%23
> x11<-(x^11)%%23
> data.frame(x=x,rzad2=x2,rzad11=x11)
x rzad2 rzad11
1 1 1 1
2 2 4 1
3 3 9 1
4 4 16 1
5 5 2 22
6 6 13 1
7 7 3 22
8 8 18 1
9 9 12 1
10 10 8 22
11 11 6 22
12 12 6 1
13 13 8 1
14 14 12 22
15 15 18 22
16 16 3 1
17 17 13 22
18 18 2 1
19 19 16 22
20 20 9 22
21 21 4 22
22 22 1 22
Do policzenia rzędów można też zastosować twierdzenie Eulera.