Generatory grupy

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
agnieszka034
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 11 lis 2020, o 10:50
Płeć: Kobieta
wiek: 22

Generatory grupy

Post autor: agnieszka034 »

Jak wyznaczyć wszystkie generatory grupy \(\displaystyle{ \phi{(23)}}\) i uzasadnić?
Licze i doliczyc się nie mogę... rząd wychodzi \(\displaystyle{ 22}\).
Biorąc potem \(\displaystyle{ <2>,<3>}\).. i wypisując elementy wychodzi chyba? również po \(\displaystyle{ 22}\), czy wszystkie elementy oprocz \(\displaystyle{ 1}\) będą generatorami? jak uzasadnić? wypisywać wszystkie elementy zajmie wiecznosc..
Ostatnio zmieniony 16 cze 2021, o 21:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
szw1710

Re: Generatory grupy

Post autor: szw1710 »

Ponieważ \(23\) jest liczbą pierwszą, to \(\Phi(23)=(\ZZ_{23})^{*}\) Jest to grupa rzędu \(22\), więc jej podgrupy właściwe mają rzędy \(2\) lub \(11\). Rząd \(2\) ma taka podgrupa \(\{1,a\}\), dla której \(a^2=1\). Liczymy kwadraty: jedynie \(1^2=1\) oraz \(22^2=1\). Tak więc pozostałe elementy muszą mieć rzędy albo \(11\), albo \(22\).

Zobaczmy na ten kod R.

Kod: Zaznacz cały

> x<-1:22
> x2<-(x^2)%%23
> x11<-(x^11)%%23
> data.frame(x=x,rzad2=x2,rzad11=x11)
    x rzad2 rzad11
1   1     1      1
2   2     4      1
3   3     9      1
4   4    16      1
5   5     2     22
6   6    13      1
7   7     3     22
8   8    18      1
9   9    12      1
10 10     8     22
11 11     6     22
12 12     6      1
13 13     8      1
14 14    12     22
15 15    18     22
16 16     3      1
17 17    13     22
18 18     2      1
19 19    16     22
20 20     9     22
21 21     4     22
22 22     1     22
Rząd \(2\) ma więc tylko \(22\). Rzędy \(11\) mają \(2,3,4,6,8,9,12,13,16,18\). Elementy, których reszty \(11\)-stych potęg to 22, czyli \(-1\), mają więc rząd \(22\). Są to \(5,7,10,11,14,15,17,19,20,21\). Zatem nasza grupa jest cykliczna.

Do policzenia rzędów można też zastosować twierdzenie Eulera.
ODPOWIEDZ