Trygonometria pierścienia

[mol_ksiazkowy]

Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest elementem nilpotentnym pierścienia \(\displaystyle{ P}\) z jedynką to
\(\displaystyle{ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-... }\),
\(\displaystyle{ \cos(x) =1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}-...}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sin^2(x)+ \cos^2(x)=1}\)

[Spektralny]

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie pierścieniem (bez jedynki) generowanym przez \(\displaystyle{ x}\) (sam w sobie jest zatem nilpotentny). W szczególności, dla każdego \(\displaystyle{ a\in A}\), \(\displaystyle{ \sin a, \cos a \in A}\) jako sumy skończenie wielu potęg elementu \(\displaystyle{ a}\), co wynika z nilopotentności. Możemy zatem pomyśleć o \(\displaystyle{ \sin(X), \cos(X)}\) jako wielomianach z pierścienia wielomianów \(\displaystyle{ A[X]}\).

Rozważmy pochodną formalną wielomianu \(\displaystyle{ \sin^2(X) + \cos^2(X)}\).

1. Sprawdzamy, że znane wzory na pochodną sinusa i cosinusa nadal działąją.
2. Pamiętajmy, że

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_derivative#Properties

, więc patrzymy na wielomian \(\displaystyle{ 2\sin X \cos X - 2 \cos X \sin X = 0}\).
3. Wnioskujemy, że wielomian \(\displaystyle{ \sin^2(X) + \cos^2(X)}\) jest stale równy 1 bo taką wartość przyjmuje w zerze.
4. Bierzemy \(\displaystyle{ X = x }\).