Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest elementem nilpotentnym pierścienia \(\displaystyle{ P}\) z jedynką to
\(\displaystyle{ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-... }\),
\(\displaystyle{ \cos(x) =1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}-...}\)
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sin^2(x)+ \cos^2(x)=1}\)
Trygonometria pierścienia
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11402
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Re: Trygonometria pierścienia
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie pierścieniem (bez jedynki) generowanym przez \(\displaystyle{ x}\) (sam w sobie jest zatem nilpotentny). W szczególności, dla każdego \(\displaystyle{ a\in A}\), \(\displaystyle{ \sin a, \cos a \in A}\) jako sumy skończenie wielu potęg elementu \(\displaystyle{ a}\), co wynika z nilopotentności. Możemy zatem pomyśleć o \(\displaystyle{ \sin(X), \cos(X)}\) jako wielomianach z pierścienia wielomianów \(\displaystyle{ A[X]}\).
Rozważmy pochodną formalną wielomianu \(\displaystyle{ \sin^2(X) + \cos^2(X)}\).
1. Sprawdzamy, że znane wzory na pochodną sinusa i cosinusa nadal działąją.
2. Pamiętajmy, że, więc patrzymy na wielomian \(\displaystyle{ 2\sin X \cos X - 2 \cos X \sin X = 0}\).
3. Wnioskujemy, że wielomian \(\displaystyle{ \sin^2(X) + \cos^2(X)}\) jest stale równy 1 bo taką wartość przyjmuje w zerze.
4. Bierzemy \(\displaystyle{ X = x }\).
Rozważmy pochodną formalną wielomianu \(\displaystyle{ \sin^2(X) + \cos^2(X)}\).
1. Sprawdzamy, że znane wzory na pochodną sinusa i cosinusa nadal działąją.
2. Pamiętajmy, że
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_derivative#Properties
3. Wnioskujemy, że wielomian \(\displaystyle{ \sin^2(X) + \cos^2(X)}\) jest stale równy 1 bo taką wartość przyjmuje w zerze.
4. Bierzemy \(\displaystyle{ X = x }\).