Podgrupa

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
min22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 26 kwie 2021, o 22:02
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Podgrupa

Post autor: min22 »

Witam.
Prosiłabym o pomoc w pokazaniu, że \(\displaystyle{ {[ax: a,x \in P}]}\) jest podgrupą grupy addytywnej \(\displaystyle{ P}\).
Z góry dziękuję za odpowiedź.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Podgrupa

Post autor: Jan Kraszewski »

A co oznaczają te znaczki? Bo ja tu nawet zbioru nie widzę.

JK
min22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 26 kwie 2021, o 22:02
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Podgrupa

Post autor: min22 »

Całkowita treść zadania brzmiała tak "\(\displaystyle{ P}\) jest pierścieniem, \(\displaystyle{ a \in P}\). Wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ ax : x \in P\right\} }\) jest ideałem pierścienia \(\displaystyle{ P}\)." Potrzebuję pokazać, że ten zbiór jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia \(\displaystyle{ P}\), ale nie wiem jak to zrobić.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Podgrupa

Post autor: Jan Kraszewski »

Pokazujesz, że ten zbiór jest zamknięty na dodawanie.

JK
min22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 26 kwie 2021, o 22:02
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Podgrupa

Post autor: min22 »

Nie wiem czy dobrze to rozumiem \(\displaystyle{ A=\left\{ ax: a,x \in P\right\} }\) i mam pokazac coś takiego \(\displaystyle{ \forall_{v,w\in A}: v+x \in A}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ v=a _{1}x _{1} , w=a _{2}x _{2} }\) zatem bierzemy \(\displaystyle{ v+w=a _{1}x _{1}+a _{2}x _{2}}\). Nie jestem pewna czy chodzi o to a jeżeli tak, to nie wiem co z tym dalej zrobić.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Podgrupa

Post autor: Jan Kraszewski »

min22 pisze: 27 kwie 2021, o 00:11 Nie wiem czy dobrze to rozumiem \(\displaystyle{ A=\left\{ ax: \red{a,}x \in P\right\} }\)
Źle rozumiesz, bo po raz drugi źle zapisujesz definicję ideału. Przeczytaj jeszcze raz treść zadania:
min22 pisze: 26 kwie 2021, o 23:03 Całkowita treść zadania brzmiała tak "\(\displaystyle{ P}\) jest pierścieniem, \(\displaystyle{ a \in P}\). Wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ ax : x \in P\right\} }\) jest ideałem pierścienia \(\displaystyle{ P}\)."
Przecież \(\displaystyle{ a}\) jest ustalonym elementem pierścienia.

JK
min22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 26 kwie 2021, o 22:02
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Podgrupa

Post autor: min22 »

Dobrze chyba już wiem gdzie popełniałam błąd, czyli powinno być tak \(\displaystyle{ a \in P}\), \(\displaystyle{ A= \left\{ ax: x \in P\right\} }\),
\(\displaystyle{ \forall_{v,w\in A}:v+w \in A}\). Teraz \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ w}\) wyglądają tak \(\displaystyle{ u=ax _{1}, w=ax _{2} }\) zatem będzie \(\displaystyle{ v+w=ax _{1}+ax _{2}=a(x _{1}x _{2})}\). Czy można zapisać tak, że \(\displaystyle{ x _{1}x _{2}\in P}\) i stąd a \(\displaystyle{ a(x _{1}x _{2}) \in A}\), czyli \(\displaystyle{ v+w \in A?}\) Czy jest to jednak błędne i coś znowu pomieszałam?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podgrupa

Post autor: a4karo »

Czemu `ax_1+ax_2=a(x_1x_2)`?
min22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 26 kwie 2021, o 22:02
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Podgrupa

Post autor: min22 »

Tam jest pomyłka z mojej strony powinno być \(\displaystyle{ ax _{1}+ax _{2}= a(x _{1}+x _{2})}\) zapomniałam o plusie i tam dalej wszędzie ma być \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2} }\). Zobaczyłam tą pomyłkę dopiero teraz, ale już nie mogę to edytować.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Podgrupa

Post autor: Jan Kraszewski »

min22 pisze: 27 kwie 2021, o 09:54 Tam jest pomyłka z mojej strony powinno być \(\displaystyle{ ax _{1}+ax _{2}= a(x _{1}+x _{2})}\) zapomniałam o plusie i tam dalej wszędzie ma być \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2} }\).
No i teraz jest dobrze.

JK
min22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 26 kwie 2021, o 22:02
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Podgrupa

Post autor: min22 »

Bardzo dziękuję za pomoc.
ODPOWIEDZ