Elementy nilpotentne
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Elementy nilpotentne
Udowodnić, że w pierścieniu skończonym liczba elementów nilpotentnych nie przekracza połowy wszystkich elementów pierścienia. Wykazać też, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieje pierścień o co najmniej \(\displaystyle{ n}\) elementach, w którym połowa jest nilpotentnych.
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Elementy nilpotentne
Zakładam, że pierścień jest niezerowy, przemienny z \(\displaystyle{ 1}\).
Jeśli element pierścienia \(\displaystyle{ x}\) jest nilpotentny, to należy do ideału maksymalnego tego pierścienia (a ogólniej, do dowolnego ideału pierwszego). Ideał maksymalny to w szczególności podgrupa, zatem rząd ideału maks. dzieli rząd pierścienia \(\displaystyle{ n}\). Wynika stąd, że elementów nilpotentnych jest co najwyżej połowa.
Dalej, w pierścieniu ilorazowym \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2[X] /(X^n)}\) elementów nilpotentnych jest dokładnie tyle co połowa elementów tegoż pierścienia. To rzecz jasna dowodzi żądanej własności
Jeśli element pierścienia \(\displaystyle{ x}\) jest nilpotentny, to należy do ideału maksymalnego tego pierścienia (a ogólniej, do dowolnego ideału pierwszego). Ideał maksymalny to w szczególności podgrupa, zatem rząd ideału maks. dzieli rząd pierścienia \(\displaystyle{ n}\). Wynika stąd, że elementów nilpotentnych jest co najwyżej połowa.
Dalej, w pierścieniu ilorazowym \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2[X] /(X^n)}\) elementów nilpotentnych jest dokładnie tyle co połowa elementów tegoż pierścienia. To rzecz jasna dowodzi żądanej własności
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Elementy nilpotentne
W zadaniu nie pisze, że pierścień ma być przemienny z jedynką lecz w takim pierścieniu nie musi być to prawdą, a co do połowy może być to też pierścień:
\(\displaystyle{ Z_{2^n}=\left\{ 0,1,2,3,4,...,2^n-1\right\} }\)
Każdy element parzysty jest nilpotentny...
np.: pierścień:
\(\displaystyle{ P=\left\{ 0,a,b\right\} }\)
\(\displaystyle{ a^2=0,b^2=0,0^1=0}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ \left\{ 0,a,b\right\} }\) to zwykła trzyelementowa grupa z dodawaniem...
\(\displaystyle{ a \cdot b=b \cdot a=0}\)
Plus rozdzielność...
W takim pierścieniu wszystkie elementy są nilpotentne...
Co ciekawe pierścień Karolexa i \(\displaystyle{ Z_{2^n}}\) są izomorficzne...
\(\displaystyle{ f(0+I)=0, f(1+I)=1, f(x+I)=3}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ I=(X^n)}\)
\(\displaystyle{ Z_{2^n}=\left\{ 0,1,2,3,4,...,2^n-1\right\} }\)
Każdy element parzysty jest nilpotentny...
np.: pierścień:
\(\displaystyle{ P=\left\{ 0,a,b\right\} }\)
\(\displaystyle{ a^2=0,b^2=0,0^1=0}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ \left\{ 0,a,b\right\} }\) to zwykła trzyelementowa grupa z dodawaniem...
\(\displaystyle{ a \cdot b=b \cdot a=0}\)
Plus rozdzielność...
W takim pierścieniu wszystkie elementy są nilpotentne...
Co ciekawe pierścień Karolexa i \(\displaystyle{ Z_{2^n}}\) są izomorficzne...
\(\displaystyle{ f(0+I)=0, f(1+I)=1, f(x+I)=3}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ I=(X^n)}\)
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Elementy nilpotentne
Ogólniej, jeśli weźmie się \(\displaystyle{ R}\) dowolną grupę abelową i zada się na \(\displaystyle{ R}\) strukturę pierścienia z zerowym mnożeniem, to dostajemy pierścień, w którym każdy element jest nilpotentny