Pierścień i nilradykał

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Szalonapralka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 27 kwie 2020, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Pierścień i nilradykał

Post autor: Szalonapralka »

Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie pierscieniem, a \(\displaystyle{ N}\) jego nilradykałem. Jak założenia, że \(\displaystyle{ R}\) zawiera dokładnie jeden element ideał pierwszy wynika, że dowolny element pierścienia jest odwracalny albo niltpotentny?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Pierścień i nilradykał

Post autor: arek1357 »

Zakładam, że to pierścień przemienny z jedynką jest...
Poza tym składniowo treść zadania jest mało spójna skierowana bardziej na domysły niż na meritum...


Nilradykał jest częścią wspólną wszystkich ideałów pierwszych.
Jeżeli w pierścieniu jest tylko jeden właściwy ideał musi on być Nilradykałem i jednocześnie ideałem pierwszym.

Jeżeli:

\(\displaystyle{ a^n=0=a \cdot a^{n-1} \in N=P \Rightarrow a \vee a^{n-1} \in N}\)

Jeżeli jakiś element nie byłby nilpotentny oraz nie byłby odwracalny czyli:

\(\displaystyle{ x \in R \setminus P}\)

W związku z tym , że w tym pierścieniu jest tylko jeden ideał właściwy=P

to:

\(\displaystyle{ (x)=R}\)

czyli istnieje takie y, że:

\(\displaystyle{ xy=1}\) - sprzeczność...
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Pierścień i nilradykał

Post autor: karolex123 »

arek1357 pisze: 14 kwie 2021, o 20:42
Jeżeli w pierścieniu jest tylko jeden właściwy ideał musi on być Nilradykałem i jednocześnie ideałem pierwszym.

W zadaniu mamy chyba założenie, że w pierścieniu jest tylko jeden ideał pierwszy, a nie że jest tylko jeden ideał właściwy?

Ogólnie nie jest prawdą, że jeśli pierścień ma dokładnie jeden ideał pierwszy, to ma dokładnie jeden ideał właściwy.

Rozumowanie tak czy owak się nie zmienia, bo jeśli pierścień ma jeden ideał pierwszy, to jest lokalny i każdy element nieodwracalny zawarty jest w nilradykale, a więc jest nilpotentny.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Pierścień i nilradykał

Post autor: arek1357 »

W zadaniu mamy chyba założenie, że w pierścieniu jest tylko jeden ideał pierwszy, a nie że jest tylko jeden ideał właściwy?
Tak założenia w zadaniu są mocno niejasne...
ODPOWIEDZ