Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie ustaloną liczbą naturalną i niech:
\(\displaystyle{ \ZZ_n=\{0,1,...,n-1\}}\)
\(\displaystyle{ a +_n b = (a+b) \bmod n}\)
Należy pokazać, że \(\displaystyle{ (\ZZ_n, +_n)}\) jest grupą.
Nie umiem dla tej grupy pokazać, że jej działanie jest łączne.
Udowodnij, że to jest grupa. (mam problem z wykazaniem łączności)
- bosendorfer
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 3 lut 2020, o 13:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 13 razy
Udowodnij, że to jest grupa. (mam problem z wykazaniem łączności)
Ostatnio zmieniony 4 kwie 2021, o 17:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Udowodnij, że to jest grupa. (mam problem z wykazaniem łączności)
Ustalmy \(\displaystyle{ a,b,c\in\ZZ_n}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\text{ mod }n+c \right)\text{ mod }n = \left( a+b+c\right) \text{ mod }n }\)
co łatwo widać jako, że \(\displaystyle{ n| \left( a+b-(a+b)\text{ mod }n \right) }\) praktycznie z definicji.
\(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\text{ mod }n+c \right)\text{ mod }n = \left( a+b+c\right) \text{ mod }n }\)
co łatwo widać jako, że \(\displaystyle{ n| \left( a+b-(a+b)\text{ mod }n \right) }\) praktycznie z definicji.
- bosendorfer
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 3 lut 2020, o 13:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 13 razy
Re: Udowodnij, że to jest grupa. (mam problem z wykazaniem łączności)
W jaki sposób \(\displaystyle{ n| \left( a+b-(a+b)\text{ mod }n \right) }\) pozwala nam udowodnić \(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\text{ mod }n+c \right)\text{ mod }n = \left( a+b+c\right) \text{ mod }n }\) ?Janusz Tracz pisze: ↑4 kwie 2021, o 18:37 Ustalmy \(\displaystyle{ a,b,c\in\ZZ_n}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\text{ mod }n+c \right)\text{ mod }n = \left( a+b+c\right) \text{ mod }n }\)
co łatwo widać jako, że \(\displaystyle{ n| \left( a+b-(a+b)\text{ mod }n \right) }\) praktycznie z definicji.
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Udowodnij, że to jest grupa. (mam problem z wykazaniem łączności)
A rozpisałeś, z definicji podzielności, co to oznacza?bosendorfer pisze: ↑4 kwie 2021, o 18:53W jaki sposób \(\displaystyle{ n| \left( a+b-(a+b)\text{ mod }n \right) }\) pozwala nam udowodnić \(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\text{ mod }n+c \right)\text{ mod }n = \left( a+b+c\right) \text{ mod }n }\) ?
JK
- bosendorfer
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 3 lut 2020, o 13:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 13 razy
Re: Udowodnij, że to jest grupa. (mam problem z wykazaniem łączności)
Co to znaczy "rozpisać z definicji podzielności"? Chodzi o zauważenie, że \(\displaystyle{ (a+b-(a+b)\bmod n)}\) to jakaś wielokrotność \(\displaystyle{ n}\)? Nadal nie wiem jak to dalej pociągnąćJan Kraszewski pisze: ↑4 kwie 2021, o 19:10A rozpisałeś, z definicji podzielności, co to oznacza?bosendorfer pisze: ↑4 kwie 2021, o 18:53W jaki sposób \(\displaystyle{ n| \left( a+b-(a+b)\text{ mod }n \right) }\) pozwala nam udowodnić \(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\text{ mod }n+c \right)\text{ mod }n = \left( a+b+c\right) \text{ mod }n }\) ?
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Udowodnij, że to jest grupa. (mam problem z wykazaniem łączności)
To znaczy, że masz jakąś definicję (najlepiej będzie jak ją zacytujesz). I do tej definicji podstawiasz obiekty co do których masz podejrzenia, że ów definicję spełniają. Może zacznij od formalnego uświadomienia sobie czym jest napis \(\displaystyle{ a\text{ mod }n}\). Potem co oznacza zapis \(\displaystyle{ a|b}\). I na tej podstawie sprawdź, że zachodzi \(\displaystyle{ n|(\xi - \xi \text{ mod }n ) }\). Oczywiście niech \(\displaystyle{ a,b,n,\xi \in \NN}\).Co to znaczy "rozpisać z definicji podzielności"?
Dodano po 31 sekundach:
W zasadzie tak.bosendorfer pisze: ↑4 kwie 2021, o 19:58 Chodzi o zauważenie, że \(\displaystyle{ (a+b-(a+b)\bmod n)}\) to jakaś wielokrotność \(\displaystyle{ n}\)?
-
- Administrator
- Posty: 34294
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Udowodnij, że to jest grupa. (mam problem z wykazaniem łączności)
Równie dobrze równość
\(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\bmod{n}+c \right)\bmod{n} = \left( a+b+c\right) \bmod{n} }\)
można udowodnić wprost z definicji (i to dość szybko), jeżeli zrozumienie kroku pośredniego sprawia Ci trudność.
JK
\(\displaystyle{ \left( \left( a+b\right)\bmod{n}+c \right)\bmod{n} = \left( a+b+c\right) \bmod{n} }\)
można udowodnić wprost z definicji (i to dość szybko), jeżeli zrozumienie kroku pośredniego sprawia Ci trudność.
JK