Przemienność, łączność, element neutralny i odwrotny

[wiktoria123456]

Działanie \(\displaystyle{ \circ }\) jest określone w zbiorze \(\displaystyle{ \RR ^+ }\) wzorem
\(\displaystyle{ a \circ b=5^{\log _5 a\cdot \log _5 b}}\).

Należy sprawdzić czy jest ono przemienne i łączne oraz znaleźć element neutralny tego działania i wyznaczyć elementy odwrotne do tych liczb \(\displaystyle{ a \in \RR ^+}\) które taki element mają.

[Jan Kraszewski]

No to definicje w dłoń i sprawdzaj. Gdzie pojawiają się problemy?

JK

[vpprof]

Ja to na wszelki wypadek przekształcam:

\(\displaystyle{
a \circ b = 5^{\log_5a\log_5b} = a^{\log_5b}
}\)

Przemienność:

\(\displaystyle{
a \circ b = 5^{\log_5a\log_5b} = 5^{\log_5b\log_5a} = b \circ a
}\) (jest przemienne)

Łączność:

\(\displaystyle{
\left( a \circ b\right) \circ c = 5^{\log_5\left( 5^{\log_5a\log_5b}\right) \log_5c } = 5^{\log_5a\log_5b\log_5c} = 5^{\log_5a\log_5\left( 5^{\log_5b\log_5c}\right) } = a \circ \left( b \circ c\right)
}\) (jest łączne)

Łatwo zauważyć, że elementem neutralnym jest taka liczba \(\displaystyle{ e}\), dla której

\(\displaystyle{
a^{\log_5e}=a \Rightarrow \log_5e=1 \Rightarrow e=5
}\)

Element odwrotny do \(\displaystyle{ a}\), oznaczany przeze mnie \(\displaystyle{ a'}\):

\(\displaystyle{
a \circ a' = e \Rightarrow \left( a'\right) ^{\log_5a}=5 \Rightarrow a'=5^{\frac{1}{\log_5a}}
}\)

Widzę tu jedynie takie obwarowanie, by mianownik nie był zerem, a zatem każda liczba \(\displaystyle{ a \in \RR_+ \setminus \left\{ 1\right\} }\) ma element odwrotny.