Działanie \(\displaystyle{ \circ }\) jest określone w zbiorze \(\displaystyle{ \RR ^+ }\) wzorem
\(\displaystyle{ a \circ b=5^{\log _5 a\cdot \log _5 b}}\).
Należy sprawdzić czy jest ono przemienne i łączne oraz znaleźć element neutralny tego działania i wyznaczyć elementy odwrotne do tych liczb \(\displaystyle{ a \in \RR ^+}\) które taki element mają.
Przemienność, łączność, element neutralny i odwrotny
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 25 mar 2020, o 20:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 25
Przemienność, łączność, element neutralny i odwrotny
Ostatnio zmieniony 31 paź 2021, o 11:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34304
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Przemienność, łączność, element neutralny i odwrotny
No to definicje w dłoń i sprawdzaj. Gdzie pojawiają się problemy?
JK
JK
- vpprof
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 11 paź 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 64 razy
Re: Przemienność, łączność, element neutralny i odwrotny
Ja to na wszelki wypadek przekształcam:
\(\displaystyle{
a \circ b = 5^{\log_5a\log_5b} = a^{\log_5b}
}\)
Przemienność:
a \circ b = 5^{\log_5a\log_5b} = a^{\log_5b}
}\)
\(\displaystyle{
a \circ b = 5^{\log_5a\log_5b} = 5^{\log_5b\log_5a} = b \circ a
}\) (jest przemienne)
Łączność:
a \circ b = 5^{\log_5a\log_5b} = 5^{\log_5b\log_5a} = b \circ a
}\) (jest przemienne)
\(\displaystyle{
\left( a \circ b\right) \circ c = 5^{\log_5\left( 5^{\log_5a\log_5b}\right) \log_5c } = 5^{\log_5a\log_5b\log_5c} = 5^{\log_5a\log_5\left( 5^{\log_5b\log_5c}\right) } = a \circ \left( b \circ c\right)
}\) (jest łączne)
Łatwo zauważyć, że elementem neutralnym jest taka liczba \(\displaystyle{ e}\), dla której
\left( a \circ b\right) \circ c = 5^{\log_5\left( 5^{\log_5a\log_5b}\right) \log_5c } = 5^{\log_5a\log_5b\log_5c} = 5^{\log_5a\log_5\left( 5^{\log_5b\log_5c}\right) } = a \circ \left( b \circ c\right)
}\) (jest łączne)
\(\displaystyle{
a^{\log_5e}=a \Rightarrow \log_5e=1 \Rightarrow e=5
}\)
Element odwrotny do \(\displaystyle{ a}\), oznaczany przeze mnie \(\displaystyle{ a'}\):
a^{\log_5e}=a \Rightarrow \log_5e=1 \Rightarrow e=5
}\)
\(\displaystyle{
a \circ a' = e \Rightarrow \left( a'\right) ^{\log_5a}=5 \Rightarrow a'=5^{\frac{1}{\log_5a}}
}\)
Widzę tu jedynie takie obwarowanie, by mianownik nie był zerem, a zatem każda liczba \(\displaystyle{ a \in \RR_+ \setminus \left\{ 1\right\} }\) ma element odwrotny.a \circ a' = e \Rightarrow \left( a'\right) ^{\log_5a}=5 \Rightarrow a'=5^{\frac{1}{\log_5a}}
}\)
Ostatnio zmieniony 31 paź 2021, o 11:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.