Ciało

[kt26420]

Niech \(\displaystyle{ X \subset \RR}\) to taki podzbiór, że \(\displaystyle{ (X, +, ·, 0, 1) }\) jest ciałem. Wykaż, że \(\displaystyle{ \QQ \subset X. }\) Podaj
przykład takiego podzbioru \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ \QQ \subset X \subset \RR. }\).
Nie umiem rozwiązywać zadania takiego typu, czy mógłby ktoś pomóc?

[a4karo]

Pomyśl co wynika z faktu, że jedynka należy do tego ciała.

[Janusz Tracz]

Podaj przykład takiego podzbioru \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ \QQ \subset X \subset \RR. }\)

Ok \(\displaystyle{ X=\QQ}\) działa. Ale raczej chcemy coś istotnie większego. Więc pomyśl o jakimś elemencie którego nie ma w \(\displaystyle{ \QQ}\) ale jest w \(\displaystyle{ \RR}\) i ciało \(\displaystyle{ \QQ}\) o ten element rozszerz.

[Bran]

Podbijam temat.

Najpierw pomyślałem, że \(\displaystyle{ \QQ \cup \left\{ \sqrt2 \right\} }\) powinno zadziałać, ale przecież \(\displaystyle{ \sqrt2}\) jest niewymierne i \(\displaystyle{ 1 + \sqrt2}\) jest niewymierne, ale różne od \(\displaystyle{ \sqrt2.}\) Będzie tak właściwie z dowolną liczbą niewymierną. Można dodać ten element wraz ze zbiorem "przesunięć" tego elementu o dowolną liczbę wymierną, z tym, że wydaje mi się to dość toporne.

Ktoś podpowie jak powinno się to rozwiązać?

[Janusz Tracz]

Najpierw pomyślałem, że \(\displaystyle{ \QQ \cup \left\{ \sqrt2 \right\} }\) powinno zadziałać, ale przecież \(\displaystyle{ \sqrt2}\) jest niewymierne i \(\displaystyle{ 1 + \sqrt2}\) jest niewymierne, ale różne od \(\displaystyle{ \sqrt2.}\) Będzie tak właściwie z dowolną liczbą niewymierną.

To słuszna analiza. Wniosek jest taki, że \(\displaystyle{ \QQ \cup \left\{ \sqrt2 \right\} }\) to nie ciało. Oraz widać, że do \(\displaystyle{ \QQ \cup \left\{ \sqrt2 \right\} }\) trzeba jeszcze dużo dorzucić aby stworzyć ciało.

Można dodać ten element wraz ze zbiorem "przesunięć" tego elementu o dowolną liczbę wymierną, z tym, że wydaje mi się to dość toporne.

Intuicja bardzo dobra (choć o nie mówi się o przesunięciach tylko o rozszerzeniu ciała). Dlaczego to toporne? Po prostu bierzesz \(\displaystyle{ \QQ}\) i rozszerzasz je o \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\). Czyli mamy ciało \(\displaystyle{ \QQ\left( \sqrt{2} \right) }\) generowane przez \(\displaystyle{ \left\{ 1, \sqrt{2} \right\} }\). Innymi słowy \(\displaystyle{ \QQ\left( \sqrt{2} \right) = \left\{ a+b \sqrt{2}:a,b\in\QQ \right\} }\). I to jest to o czym intuicyjnie myślałeś. A to, że \(\displaystyle{ \QQ\left( \sqrt{2} \right) }\) jest ciałem łatwo sprawdzić (choć jeśli ktoś wierzy, że \(\displaystyle{ \CC=\RR(i)}\) jest ciałem to z \(\displaystyle{ \QQ\left( \sqrt{2} \right) }\) nie będzie mieć problemu). Poza tym widać, że \(\displaystyle{ \QQ \subset \QQ\left( \sqrt{2} \right) \subset \RR}\).