Grupa Galois

[Iza8723]

Jak wyznaczyć grupę Galois \(\displaystyle{ Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{5},i):\mathbb{Q})}\)
Wyznaczyłam wielomiany minimalne obu elementów, ale co dalej. Jak wyznaczyć automorfizm ?

[Janusz Tracz]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \QQ\left( \sqrt{5},i \right)=\text{span}_{\QQ}\left\{ 1, \sqrt{5},i, \sqrt{5}i \right\} }\) więc \(\displaystyle{ \left[ \QQ\left( \sqrt{5},i \right):\QQ\right]=4 }\) zatem \(\displaystyle{ \left| \text{Gal}\left( \QQ\left( \sqrt{5},i \right)/\QQ\right) \right|=4}\) (tu trzeba skorzystać jeszcze z własności ciała \(\displaystyle{ \QQ\left( \sqrt{5},i \right)}\)

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_group#Cardinality_of_the_Galois_group_and_the_degree_of_the_field_extension

). Czyli spodziewany się czterech automorfizmów i można je scharakteryzować tak:

\(\displaystyle{ \text{id}: \begin{cases} \sqrt{5} \mapsto \sqrt{5} \\ i \mapsto i\end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \tau: \begin{cases} \sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5} \\ i \mapsto i\end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \sigma: \begin{cases} \sqrt{5} \mapsto \sqrt{5} \\ i \mapsto -i\end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \tau \circ \sigma: \begin{cases} \sqrt{5} \mapsto -\sqrt{5} \\ i \mapsto -i\end{cases} }\)

No i \(\displaystyle{ \text{Gal}\left( \QQ\left( \sqrt{5},i \right)/\QQ\right)=\left\{\text{id},\tau,\sigma,\tau\circ \sigma \right\} }\)