Jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest skończoną grupą abelową, \(\displaystyle{ m}\) dzieli rząd grupy \(\displaystyle{ G}\), wówczas istnieje podgrupa \(\displaystyle{ H}\) grupy \(\displaystyle{ G}\).
Zostało nam to podane jako wniosek z tw. Kronecera o skończonych grupach abelowych. Potrafi ktoś to udowodnić ?
Powinno być tak:
Jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest skończoną grupą abelową, \(\displaystyle{ m}\) dzieli rząd grupy \(\displaystyle{ G}\), wówczas istnieje podgrupa \(\displaystyle{ H}\) grupy \(\displaystyle{ G}\) rzędu \(\displaystyle{ m}\).
W takim razie dowód jest prosty, zniechęcające może być tylko jego abstrakcyjne sformułowanie. Żeby zrozumieć o co chodzi wystarczy zbadać kilka przykładów. A więc: czy potrafisz znaleźć
\(\displaystyle{ \bullet}\) podgrupę rzędu \(\displaystyle{ 2}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_8}\)?
\(\displaystyle{ \bullet}\) podgrupę rzędu \(\displaystyle{ 9}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_3 \times \ZZ_3 \times \ZZ_3}\)?
\(\displaystyle{ \bullet}\) podgrupę rzędu \(\displaystyle{ 30}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_4 \times \ZZ_9 \times \ZZ_{25}}\)?
\(\displaystyle{ \bullet}\) podgrupę rzędu \(\displaystyle{ 48}\) w \(\displaystyle{ \ZZ_4 \times \ZZ_8 \times \ZZ_9}\)?
Jak chce znaleźć podgrupę w tych przykładach co podałeś, to biorę jakiś element z tej grupy i mnożę(działanie z grupy) i wtedy otrzymuje podgrupę.
Ale nie wiem jak to przenieść na dowód tego twierdzenia
