Potęgowanie kwaternionów

[Corinek]

Wyznaczyć \(\displaystyle{ q^{1024}}\) dla \(\displaystyle{ q=\left( \frac{1}{2}+\frac{i}{2}+\frac{j}{2}+\frac{k}{2}\right) }\).

Wiem, że muszę skorzystać z postaci trygonometrycznej \(\displaystyle{ q=\left| \left| q\right| \right| (\cos \phi, v' \cdot \sin \phi) }\) gdzie \(\displaystyle{ v'}\) - wektor unormowany.
oraz wzoru Moivra \(\displaystyle{ q^n = (\cos (n\phi), v \cdot \sin (n\phi))}\).
Ale chyba źle się za to biorę.

\(\displaystyle{ q^n = (\cos (n\phi), v \cdot \sin (n\phi))}\)
\(\displaystyle{ q^{1024} = (\cos (1024\phi), v \cdot \sin (1024\phi))}\)
\(\displaystyle{ q^{1024} = \left| \left| q\right| \right|^{1024} (\cos (1024\phi), v' \cdot \sin (1024\phi))}\)

\(\displaystyle{ \left| \left| q\right| \right| = \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{1}=1}\)

\(\displaystyle{ q^{1024} = 1^{1024} (\cos (1024\phi)+i \cdot \sin (1024\phi)+j \cdot \sin (1024\phi) +k \cdot \sin (1024\phi))}\)

I teraz tak - nie umiem znaleźć kąta i nie wiem, czy powinnam mieć to rozpisane właśnie w ten sposób?

Edytowałam.