Element neutralny grupy

[Bran]

W grupie \(\displaystyle{ \QQ / \ZZ}\) wyznaczyć rząd elementu \(\displaystyle{ \left( \frac{m}{n} + \ZZ \right),}\) gdzie \(\displaystyle{ \NWD(m,n) = 1.}\)

Znam odpowiedź i wiem mniej więcej jak przebiega rozwiązanie, ale jest pewna rzecz, której nie rozumiem. Najpierw przedstawię rozwiązanie:

Ukryta treść:    

Rząd elementu \(\displaystyle{ \left( \frac{m}{n} + \ZZ \right),}\) to najmniejsza taka liczba \(\displaystyle{ a \in \NN,}\) która \(\displaystyle{ an = e}\) (notacja addytywna).

Elementem neutralnym tej grupy jest \(\displaystyle{ \ZZ}\) zatem szukamy szukamy takiego \(\displaystyle{ a,}\) że \(\displaystyle{ a\left( \frac{m}{n} + \ZZ \right) = \ZZ.}\)

Z definicji mamy:
\(\displaystyle{ a\left( \frac{m}{n} + \ZZ \right) = \left( a\frac{m}{n} + \ZZ \right)}\)
Dla \(\displaystyle{ a = n}\) dostajemy \(\displaystyle{ \left( m + \ZZ \right) = \ZZ.}\)

Teraz sprawdźmy minimalność \(\displaystyle{ a}\). Załóżmy nie wprost, że istnieje takie naturalne \(\displaystyle{ k < n}\), takie że \(\displaystyle{ k\left( \frac{m}{n} + \ZZ \right) = \ZZ.}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ n}\), to mamy: \(\displaystyle{ \left( \frac{km}{n} + \ZZ \right).}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ k}\) nie jest wzglednie pierwsze z \(\displaystyle{ n}\), to ponieważ \(\displaystyle{ k<n}\) istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ x > 1, y \ge m}\), że \(\displaystyle{ k\left( \frac{m}{n} + \ZZ \right) = \left( \frac{y}{x} + \ZZ \right),}\) gdzie \(\displaystyle{ x,y}\) są względnie pierwsze.

Nie do końca rozumiem jedną rzecz: Dlaczego elementem neutralnym tej grupy jest \(\displaystyle{ \ZZ.}\)
Byłbym wdzięczny za naprowadzenie.

[Jan Kraszewski]

Nie do końca rozumiem jedną rzecz: Dlaczego elementem neutralnym tej grupy jest \(\displaystyle{ \ZZ.}\)

Elementem neutralnym grupy ilorazowej \(\displaystyle{ \QQ/\ZZ}\) jest warstwa elementu neutralnego w grupie \(\displaystyle{ \QQ}\), czyli warstwa zera:

\(\displaystyle{ 0+\ZZ=\{0+x:x\in\ZZ\}=\ZZ.}\)

JK

[Bran]

Bardzo dziękuję. To już rozumiem. Podczas myślenia zadałem sobie pytanie:

Jak wyglądają warstwy tej grupy? Na wstępie zawsze była podana relacja i można było coś wykombinować, tutaj nie bardzo wiem co i jak. Właściwie to nie wiem jak wygląda ten zbiór. Mógłbym prosić jeszcze o podpowiedź (literaturę) na ten temat?

[Dasio11]

Podział grupy \(\displaystyle{ G}\) na (lewe) warstwy względem podgrupy \(\displaystyle{ H}\) zawsze jest zadany relacją równoważności:

\(\displaystyle{ a \sim b \quad \text{ gdy } \quad a^{-1} b \in H}\).

W omawianym przypadku: dla \(\displaystyle{ x, y \in \QQ}\)

\(\displaystyle{ x \sim y \quad \text{ gdy } \quad y-x \in \ZZ}\).

[Bran]

Czyli tutaj warstwami będą ułamki nieskracalne o tym samym mianowniku?

[Jan Kraszewski]

Nie. Warstwami (czyli klasami abstrakcji) są podzbiory ilorazowanej grupy, w tym wypadku - podzbiory \(\displaystyle{ \QQ}\). Zatem stwierdzenie "warstwami będą ułamki nieskracalne o tym samym mianowniku" nie ma sensu.

Warstwami są zbiory liczb wymiernych o tej samej części ułamkowej.

JK