Udowodnić, że każdy prosty \(\displaystyle{ R}\) moduł jest izomorficzny z modułem postaci \(\displaystyle{ R \setminus M}\) dla pewnego maksymalnego lewostronnego ideału \(\displaystyle{ M}\) w \(\displaystyle{ R}\).
Jak to zrobić?
Prosty R moduł
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Prosty R moduł
Szkic: rozważmy dowolny \(\displaystyle{ R}\)-moduł prosty \(\displaystyle{ M}\). Wybierzmy jakikolwiek \(\displaystyle{ a \in M \setminus \{ 0 \}}\) i określmy funkcję \(\displaystyle{ \varphi : R \to M}\) wzorem \(\displaystyle{ \varphi(r) = r \cdot a}\). Z założeń wynika, że jest to epimorfizm \(\displaystyle{ R}\)-modułów. Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie jądrem tego homomorfizmu. Wtedy \(\displaystyle{ I}\) jest też ideałem właściwym w pierścieniu \(\displaystyle{ R}\) i zachodzi izomorfizm \(\displaystyle{ R}\)-modułów \(\displaystyle{ R/I \cong M}\).
Pozostaje do wykazania, że \(\displaystyle{ I}\) jest maksymalny. Gdyby nie był, tj. \(\displaystyle{ I \subsetneq J}\) dla pewnego ideału właściwego \(\displaystyle{ J \mathrel{\leqslant \hskip{-4pt} \raise 2pt \tiny{|} \hskip{-1.7pt} \tiny{|} \hskip{4pt}} R}\), to wtedy \(\displaystyle{ J/I}\) byłby właściwym, niezerowym podmodułem \(\displaystyle{ R/I}\), a więc \(\displaystyle{ M}\) nie byłby modułem prostym.
Pozostaje do wykazania, że \(\displaystyle{ I}\) jest maksymalny. Gdyby nie był, tj. \(\displaystyle{ I \subsetneq J}\) dla pewnego ideału właściwego \(\displaystyle{ J \mathrel{\leqslant \hskip{-4pt} \raise 2pt \tiny{|} \hskip{-1.7pt} \tiny{|} \hskip{4pt}} R}\), to wtedy \(\displaystyle{ J/I}\) byłby właściwym, niezerowym podmodułem \(\displaystyle{ R/I}\), a więc \(\displaystyle{ M}\) nie byłby modułem prostym.