Pierścień reszt z dzielenia z działaniami modulo n

[iapko]

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{n}= \left\{ 0,1, ..., n-1\right\} }\) dla \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\).
W zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{Z} _{n} }\) określamy działania \(\displaystyle{ \cdot _{n} }\) oraz \(\displaystyle{ + _{n} }\) następująco:
\(\displaystyle{ x+_{n}y}\) to reszta z dzielenia liczby \(\displaystyle{ x+y}\) przez n, natomiast \(\displaystyle{ x\cdot_{n}y}\) to reszta z dzielenia liczby \(\displaystyle{ xy}\) przez n.
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \left( \mathbb{Z}_{n}, +_{n}, \cdot_{n}\right) }\) jest pierścieniem.

Zastanawiam się na ile w tym przypadku trzeba udowadniać wszystko algebraicznie a na ile można napisać "zachodzi", np. wewnętrzność albo łączność takiego działania. Dodawanie i mnożenie modulo n można też zapisać jako:
\(\displaystyle{ x+_{n}y=x+y-\left[ \frac{x+y}{n} \right] \cdot n }\)
\(\displaystyle{ x \cdot _{n} y = xy - \left[ \frac{xy}{n} \right] \cdot n }\)
gdzie \(\displaystyle{ \left[a\right] }\) - cecha liczby a

Z tej postaci trudno mi jednak udowodnić wyżej wspomnianą łączność czy wewnętrzność. Jak przeprowadzić ten dowód żeby był w całości poprawny i które kroki można pominąć powołując się na własności dodawania i mnożenia liczb całkowitych, albo na to, że "widać"?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \mathbf{Lemat 1}}\)
Epimorfizm struktury \(\displaystyle{ (A,\circ)}\) na strukturę \(\displaystyle{ (B,*)}\), zachowuje łączność działania. To znaczy jeśli \(\displaystyle{ \circ}\) jest łączne to \(\displaystyle{ *}\) też.

\(\displaystyle{ \mathbf{Lemat 2}}\)
Epimorfizm struktury \(\displaystyle{ (A,+,\cdot)}\) na strukturę \(\displaystyle{ (B, \oplus , \odot )}\) pozwala z rozdzielności \(\displaystyle{ \cdot }\) względem \(\displaystyle{ +}\) wnioskować o rozdzielności \(\displaystyle{ \odot}\) względem \(\displaystyle{ \oplus}\).

\(\displaystyle{ \mathbf{Lemat 3}}\)
Funkcja \(\displaystyle{ \phi:\ZZ \rightarrow \ZZ_n}\) dana wzorem \(\displaystyle{ \phi(a)=a \mod n}\) jest epimorfizmem \(\displaystyle{ \left( \ZZ,+, \cdot \right) }\) na \(\displaystyle{ \left( \ZZ_n,+_n, \cdot_n \right) }\).

Zatem większość rzeczy które trzeba udowodnić dostajemy wprost z przemienności, łączności i rozdzielności działań \(\displaystyle{ +, \cdot }\) w \(\displaystyle{ \ZZ}\). A pozornie znacznie bardziej abstrakcyjna strona tych lematów nie sprawia, że są one trudniejsze w dowodzie niż potrzebne Ci fakty z \(\displaystyle{ \left( \ZZ_n,+_n, \cdot_n \right) }\).