Niech \(\displaystyle{ \QQ\left( \sqrt{a} \right)=\left\{ m+n\sqrt{a}, m,n\in \QQ\right\} }\)
1. Udowodnij, że grupy \(\displaystyle{ \left(\QQ\left(\sqrt{2}\right),+\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left(\QQ\left(\sqrt{3}\right),+\right)}\) są izomorficzne.
2. Czy istnieje izomorfizm ciała \(\displaystyle{ \left(\QQ\left( \sqrt{2}\right),+, \cdot \right) }\) na ciało \(\displaystyle{ \left(\QQ,+, \cdot\right)}\)? Odpowiedź uzasadnij.
3. Czy istnieje izomorfizm ciała \(\displaystyle{ \left(\QQ\left( \sqrt{2}\right),+, \cdot \right) }\) na ciało \(\displaystyle{ \left(\QQ\left( \sqrt{3}\right),+, \cdot \right) }\)? Odpowiedź uzasadnij.
Bardzo proszę o wyjaśnienie jak rozwiązać coś takiego.
Izomorfizm, liczby wymierne
-
iapko
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 1 gru 2020, o 14:12
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 13 razy
Izomorfizm, liczby wymierne
Ostatnio zmieniony 12 gru 2020, o 12:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczono w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczono w złym dziale.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Izomorfizm, liczby wymierne
\(\displaystyle{ 1)}\) Funkcja \(\displaystyle{ \phi : \QQ\left( \sqrt{2} \right)\to \QQ\left( \sqrt{3} \right) }\) taka, że \(\displaystyle{ \phi\left(x+y \sqrt{2} \right) =x+y \sqrt{3} }\) jest izomorfizmem. Jest homomorfizmem
\(\displaystyle{ \phi\left(x_1+y_1 \sqrt{2} + x_2+y_2 \sqrt{2} \right)=\phi\left(x_1+ x_2+(y_1+y_2) \sqrt{2} \right)=x_1+ x_2+(y_1+y_2) \sqrt{3} }\)
\(\displaystyle{ =x_1+y_1\sqrt{3}+ x_2+y_2\sqrt{3}=\phi\left(x_1+y_1 \sqrt{2} \right)+\phi\left( x_2+y_2 \sqrt{2} \right)}\)
poza tym \(\displaystyle{ \phi}\) jest bijekcją. Co można sprawdzić rachunkiem.
\(\displaystyle{ 3)}\) Gdyby taki izomorfizm \(\displaystyle{ \phi}\) istniał to:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Wartość \(\displaystyle{ \phi \left( \sqrt{2} \right) }\) było by postaci \(\displaystyle{ x+y \sqrt{3} }\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \phi ^2\left( \sqrt{2} \right)= \phi \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \right) = \phi \left( 2 \right) =\phi(1+1)=\phi(1)+\phi(1)=2 }\)
Zatem z powyższych obserwacji wynika, że istniały by takie \(\displaystyle{ x,y\in\QQ}\), że \(\displaystyle{ \left( x+y \sqrt{3}\right)^2= 2 }\). To oznacza, że \(\displaystyle{ x^2+3y^2+2xy \sqrt{3}=2 }\), a to, że:
a to oznacza, że \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\) to zero. I tu zaczyna się sypać, powstaje sprzeczność.
\(\displaystyle{ \phi\left(x_1+y_1 \sqrt{2} + x_2+y_2 \sqrt{2} \right)=\phi\left(x_1+ x_2+(y_1+y_2) \sqrt{2} \right)=x_1+ x_2+(y_1+y_2) \sqrt{3} }\)
\(\displaystyle{ =x_1+y_1\sqrt{3}+ x_2+y_2\sqrt{3}=\phi\left(x_1+y_1 \sqrt{2} \right)+\phi\left( x_2+y_2 \sqrt{2} \right)}\)
poza tym \(\displaystyle{ \phi}\) jest bijekcją. Co można sprawdzić rachunkiem.
\(\displaystyle{ 3)}\) Gdyby taki izomorfizm \(\displaystyle{ \phi}\) istniał to:
\(\displaystyle{ \bullet}\) Wartość \(\displaystyle{ \phi \left( \sqrt{2} \right) }\) było by postaci \(\displaystyle{ x+y \sqrt{3} }\)
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \phi ^2\left( \sqrt{2} \right)= \phi \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \right) = \phi \left( 2 \right) =\phi(1+1)=\phi(1)+\phi(1)=2 }\)
Zatem z powyższych obserwacji wynika, że istniały by takie \(\displaystyle{ x,y\in\QQ}\), że \(\displaystyle{ \left( x+y \sqrt{3}\right)^2= 2 }\). To oznacza, że \(\displaystyle{ x^2+3y^2+2xy \sqrt{3}=2 }\), a to, że:
\(\displaystyle{ \QQ \ni x^2+3y^2-2=2xy \sqrt{3} \in \QQ}\)
a to oznacza, że \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\) to zero. I tu zaczyna się sypać, powstaje sprzeczność.