Pierścień półpierwszy

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ 0 \neq I}\) będzie ideałem pierścienia (pół)pierwszego \(\displaystyle{ R}\). Uzasadnić, że \(\displaystyle{ I}\) jest pierścieniem (pół)pierwszym.

Jak to zrobić?

[arek1357]

Niech \(\displaystyle{ I}\) dowolny ideał w \(\displaystyle{ R}\).

Niech \(\displaystyle{ J}\) ideał w \(\displaystyle{ I}\) (jako podpierścieniu), niech: \(\displaystyle{ J^2=\left\{ 0\right\} }\)

Ale:

\(\displaystyle{ (J)^3 \subset J , (J)^3 }\)- ideał w \(\displaystyle{ R}\)

czyli: \(\displaystyle{ (J)^6=\left\{ 0\right\}. }\)

Więc z półpierwszości \(\displaystyle{ R}\) wynika, że:

\(\displaystyle{ (J)^3=\left\{ 0\right\} \Rightarrow (J)=\left\{ 0\right\} \Rightarrow J=0. }\)

\(\displaystyle{ (J) }\)- pierścień w \(\displaystyle{ R}\) generowany przez zbiór \(\displaystyle{ J}\)

[max123321]

Nie rozumiem. Co w ogóle znaczy, że pierścień jest półpierwszy? Znalazłem jedynie definicję co to jest ideał pierwszy.

[Jan Kraszewski]

A szukałeś po angielsku?

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Semiprime_ring

JK

[max123321]

Nie no nie dam rady. Mam problemy z algebrą, a jak jeszcze dojdzie do tego tłumaczenie z angielskiego to leżę. Czy możesz wyjaśnić mi pojęcia, które tu występują?

[arek1357]

Tam są pojęcia :
pierścień, ideał definicje znajdziesz wszędzie...

A ideały są podpierścieniami pierścienia...

[max123321]

Nie no dobra, pierścień i ideał to mniej więcej znam definicję, ale bardziej chodzi mi o tą półpierwszość, co to jest?

[arek1357]

I półpierwszy jeżeli dla każdego:

\(\displaystyle{ a \in R}\) - pierścień

\(\displaystyle{ aRa \subseteq J \Rightarrow a \in I}\)

\(\displaystyle{ (6)}\) jest ideałem półpierwszym w Z lecz nie pierwszym

Pierścień R jest półpierwszy jeżeli \(\displaystyle{ (0)}\) jest półpierwszy

[max123321]

Nie no nie rozumiem. Co to jest to \(\displaystyle{ J}\)? Co to jest ta szóstka? Co to jest to \(\displaystyle{ Z}\)?

[arek1357]

\(\displaystyle{ J}\) ideał

\(\displaystyle{ \\Z }\)- pierścień liczb całkowitych

\(\displaystyle{ (6)}\) - ideał generowany w pierścieniu liczb całkowitych przez szóstkę...

[max123321]

Ok, ale nie wiem za bardzo jak w tej definicji ma się \(\displaystyle{ I}\) do \(\displaystyle{ J}\). Czy tam nie powinno być:
\(\displaystyle{ aRa \subseteq I \Rightarrow a \in I}\)?

A tam dalej z tym \(\displaystyle{ (6)}\) to jak rozumiem podałeś po prostu przykład ideału półpierwszego, tak?

[arek1357]

tak

Tam wyżej pomyłka powinno być \(\displaystyle{ I}\), czyli \(\displaystyle{ I=J}\).

[max123321]

No, ok, ale nie widzę tu w takim razie nic ciekawego, bo chyba każdy ideał \(\displaystyle{ (z)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ z}\)-całkowitego jest półpierwszy w pierścieniu \(\displaystyle{ Z}\). W szczególności \(\displaystyle{ (0)}\) też jest półpierwszy w \(\displaystyle{ Z}\), zatem pierścień \(\displaystyle{ Z}\) jest półpierwszy. Zgadza się?

[arek1357]

No tak bo ten warunek można jeszcze inaczej zapisać:

\(\displaystyle{ aIa \subseteq I \Rightarrow a \in I}\)

[max123321]

Nie no nie rozumiem tego dowodu. Generalnie chcemy pokazać, że ideał \(\displaystyle{ (0)}\) jest półpierwszy w \(\displaystyle{ I}\), więc skąd te \(\displaystyle{ J^2,J^3,J^6}\), możesz jakoś wytłumaczyć ten dowód bardziej?