Pierścień bez jedynki
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Pierścień bez jedynki
Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie pierścieniem bez \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:
1. \(\displaystyle{ \forall a,b \in S (aSb=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0)}\)
2. \(\displaystyle{ \forall I,J \Delta S (IJ=0 \Rightarrow I=0 \vee J=0)}\)
Jak to zrobić?
1. \(\displaystyle{ \forall a,b \in S (aSb=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0)}\)
2. \(\displaystyle{ \forall I,J \Delta S (IJ=0 \Rightarrow I=0 \vee J=0)}\)
Jak to zrobić?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Pierścień bez jedynki
Z dołu do góry:
Niech:
\(\displaystyle{ a \in I, b \in J ,I,J \neq 0}\)
\(\displaystyle{ IJ=0 \Rightarrow aSb=(aS)b \in IJ=0 \Rightarrow a=0}\)
Dodano po 12 minutach 21 sekundach:
Tam powinno być z góry do dołu
Niech:
\(\displaystyle{ a \in I, b \in J ,I,J \neq 0}\)
\(\displaystyle{ IJ=0 \Rightarrow aSb=(aS)b \in IJ=0 \Rightarrow a=0}\)
Dodano po 12 minutach 21 sekundach:
Tam powinno być z góry do dołu
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Pierścień bez jedynki
Chwila bo nie rozumiem do końca. Z tego co widzę to udowadniasz z dwójki jedynkę, tak?
No, ale to w takim razie nie rozumiem dlaczego zakładasz, że \(\displaystyle{ I \neq 0,J \neq 0}\).
Dalej próbuję rozszyfrować to co jest dalej: \(\displaystyle{ IJ}\) to jak rozumiem jest taki zbiór: \(\displaystyle{ IJ=\left\{ i \cdot j:i \in I,j \in J\right\} }\), tak?
A \(\displaystyle{ aSb}\) to jest taki zbiór: \(\displaystyle{ aSb=\left\{ a \cdot s \cdot b:s \in S\right\} }\), tak?
Zatem jeśli \(\displaystyle{ a \in I}\), to \(\displaystyle{ aS \subset I}\)? Ale to w takim razie czy tam nie powinno być \(\displaystyle{ (aS)b \subset IJ}\), zamiast \(\displaystyle{ \in }\)?
No, ale to w takim razie nie rozumiem dlaczego zakładasz, że \(\displaystyle{ I \neq 0,J \neq 0}\).
Dalej próbuję rozszyfrować to co jest dalej: \(\displaystyle{ IJ}\) to jak rozumiem jest taki zbiór: \(\displaystyle{ IJ=\left\{ i \cdot j:i \in I,j \in J\right\} }\), tak?
A \(\displaystyle{ aSb}\) to jest taki zbiór: \(\displaystyle{ aSb=\left\{ a \cdot s \cdot b:s \in S\right\} }\), tak?
Zatem jeśli \(\displaystyle{ a \in I}\), to \(\displaystyle{ aS \subset I}\)? Ale to w takim razie czy tam nie powinno być \(\displaystyle{ (aS)b \subset IJ}\), zamiast \(\displaystyle{ \in }\)?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Pierścień bez jedynki
Raczej udowadniałem z jedynki dwójkę sorry za zamęt...
Dodano po 1 minucie 16 sekundach:
raczej powinno być zawiera się bo jest S i produkuje nam to wiele elementów...
Dodano po 1 minucie 16 sekundach:
raczej powinno być zawiera się bo jest S i produkuje nam to wiele elementów...
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Pierścień bez jedynki
To to wiem, ale co tam się dzieje? Dlaczego zakładasz, że \(\displaystyle{ I,J \neq 0}\)? To jest dowód nie wprost? Dalej w tym dowodzie zakładasz, że \(\displaystyle{ IJ=0}\) i chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ I=0}\) lub \(\displaystyle{ J=0}\), jak rozumiem. A to \(\displaystyle{ aSb}\) to jest warstwa obustronna wyznaczona przez \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), tak? Dalej potem pokazujesz, że \(\displaystyle{ aSb}\) zawiera się \(\displaystyle{ IJ}\), a więc jest równe zero i ok, tylko dlaczego z tego wynika, że \(\displaystyle{ a=0}\), a nie, że na przykład \(\displaystyle{ b=0}\) i dlaczego to kończy dowód?
Ostatnio zmieniony 20 gru 2020, o 16:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: nie wprost.
Powód: Poprawa wiadomości: nie wprost.
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Pierścień bez jedynki
Czyli zakładasz, że \(\displaystyle{ I,J}\) są niezerowe i bierzesz z nich niezerowe elementy \(\displaystyle{ a,b}\) i chcesz pokazać potem, że co najmniej jeden taki element nie istnieje, tak? To tam dalej chyba powinno być:
\(\displaystyle{ IJ=0 \Rightarrow aSb=(aS)b \subseteq IJ=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0}\), zatem \(\displaystyle{ I=0 \vee J=0}\), zgadza się?
A jeszcze powiedz mi jedną rzecz, jeśli \(\displaystyle{ a}\) należy do ideału \(\displaystyle{ I}\), to warstwa \(\displaystyle{ aS}\) zawiera się zawsze w ideale \(\displaystyle{ I}\), czy jest mu równa?
\(\displaystyle{ IJ=0 \Rightarrow aSb=(aS)b \subseteq IJ=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0}\), zatem \(\displaystyle{ I=0 \vee J=0}\), zgadza się?
A jeszcze powiedz mi jedną rzecz, jeśli \(\displaystyle{ a}\) należy do ideału \(\displaystyle{ I}\), to warstwa \(\displaystyle{ aS}\) zawiera się zawsze w ideale \(\displaystyle{ I}\), czy jest mu równa?
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Pierścień bez jedynki
Ale tam powinno być:
\(\displaystyle{ IJ=0 \Rightarrow aSb=(aS)b \subseteq IJ=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0}\), zatem \(\displaystyle{ I=0 \vee J=0}\),
Zgadza się?
\(\displaystyle{ IJ=0 \Rightarrow aSb=(aS)b \subseteq IJ=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0}\), zatem \(\displaystyle{ I=0 \vee J=0}\),
Zgadza się?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Pierścień bez jedynki
masz \(\displaystyle{ a, b}\) elementy w \(\displaystyle{ R}\)
\(\displaystyle{ RaR , RbR}\) - ideały w \(\displaystyle{ R}\)
wymnóżmy:
i niech:
\(\displaystyle{ RaRRbR=0 }\)
ale:
\(\displaystyle{ RaRRbR=RaRbR=0}\)
czyli:
wynika, że:
\(\displaystyle{ aRb=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0}\)
\(\displaystyle{ RaR , RbR}\) - ideały w \(\displaystyle{ R}\)
wymnóżmy:
i niech:
\(\displaystyle{ RaRRbR=0 }\)
ale:
\(\displaystyle{ RaRRbR=RaRbR=0}\)
czyli:
wynika, że:
\(\displaystyle{ aRb=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Pierścień bez jedynki
No ok, początek w miarę rozumiem, w sensie, że to \(\displaystyle{ I,J}\) jest równe odpowiednio \(\displaystyle{ RaR}\) i \(\displaystyle{ RbR}\) i zakładamy, że \(\displaystyle{ IJ=0}\), więc \(\displaystyle{ RaRRbR=0}\), ale dlaczego \(\displaystyle{ RaRRbR=RaRbR}\)?