Pierścień bez jedynki

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie pierścieniem bez \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:
1. \(\displaystyle{ \forall a,b \in S (aSb=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0)}\)
2. \(\displaystyle{ \forall I,J \Delta S (IJ=0 \Rightarrow I=0 \vee J=0)}\)

Jak to zrobić?

[arek1357]

Z dołu do góry:

Niech:

\(\displaystyle{ a \in I, b \in J ,I,J \neq 0}\)

\(\displaystyle{ IJ=0 \Rightarrow aSb=(aS)b \in IJ=0 \Rightarrow a=0}\)

Dodano po 12 minutach 21 sekundach:
Tam powinno być z góry do dołu

[max123321]

Chwila bo nie rozumiem do końca. Z tego co widzę to udowadniasz z dwójki jedynkę, tak?
No, ale to w takim razie nie rozumiem dlaczego zakładasz, że \(\displaystyle{ I \neq 0,J \neq 0}\).

Dalej próbuję rozszyfrować to co jest dalej: \(\displaystyle{ IJ}\) to jak rozumiem jest taki zbiór: \(\displaystyle{ IJ=\left\{ i \cdot j:i \in I,j \in J\right\} }\), tak?

A \(\displaystyle{ aSb}\) to jest taki zbiór: \(\displaystyle{ aSb=\left\{ a \cdot s \cdot b:s \in S\right\} }\), tak?

Zatem jeśli \(\displaystyle{ a \in I}\), to \(\displaystyle{ aS \subset I}\)? Ale to w takim razie czy tam nie powinno być \(\displaystyle{ (aS)b \subset IJ}\), zamiast \(\displaystyle{ \in }\)?

[arek1357]

Raczej udowadniałem z jedynki dwójkę sorry za zamęt...

Dodano po 1 minucie 16 sekundach:
raczej powinno być zawiera się bo jest S i produkuje nam to wiele elementów...

[max123321]

Nie bardzo rozumiem. Możesz napisać parę słów komentarza do tego?

[arek1357]

z 1 do 2

[max123321]

To to wiem, ale co tam się dzieje? Dlaczego zakładasz, że \(\displaystyle{ I,J \neq 0}\)? To jest dowód nie wprost? Dalej w tym dowodzie zakładasz, że \(\displaystyle{ IJ=0}\) i chcesz pokazać, że \(\displaystyle{ I=0}\) lub \(\displaystyle{ J=0}\), jak rozumiem. A to \(\displaystyle{ aSb}\) to jest warstwa obustronna wyznaczona przez \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), tak? Dalej potem pokazujesz, że \(\displaystyle{ aSb}\) zawiera się \(\displaystyle{ IJ}\), a więc jest równe zero i ok, tylko dlaczego z tego wynika, że \(\displaystyle{ a=0}\), a nie, że na przykład \(\displaystyle{ b=0}\) i dlaczego to kończy dowód?

[arek1357]

bo zakładam, że:

\(\displaystyle{ a \neq 0, b \neq 0 \in I,J}\)

[max123321]

Czyli zakładasz, że \(\displaystyle{ I,J}\) są niezerowe i bierzesz z nich niezerowe elementy \(\displaystyle{ a,b}\) i chcesz pokazać potem, że co najmniej jeden taki element nie istnieje, tak? To tam dalej chyba powinno być:
\(\displaystyle{ IJ=0 \Rightarrow aSb=(aS)b \subseteq IJ=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0}\), zatem \(\displaystyle{ I=0 \vee J=0}\), zgadza się?

A jeszcze powiedz mi jedną rzecz, jeśli \(\displaystyle{ a}\) należy do ideału \(\displaystyle{ I}\), to warstwa \(\displaystyle{ aS}\) zawiera się zawsze w ideale \(\displaystyle{ I}\), czy jest mu równa?

[arek1357]

raczej zawiera się

[max123321]

Ale tam powinno być:
\(\displaystyle{ IJ=0 \Rightarrow aSb=(aS)b \subseteq IJ=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0}\), zatem \(\displaystyle{ I=0 \vee J=0}\),
Zgadza się?

[arek1357]

Tak

[max123321]

No dobra, a w drugą stronę?

[arek1357]

masz \(\displaystyle{ a, b}\) elementy w \(\displaystyle{ R}\)

\(\displaystyle{ RaR , RbR}\) - ideały w \(\displaystyle{ R}\)

wymnóżmy:

i niech:

\(\displaystyle{ RaRRbR=0 }\)

ale:

\(\displaystyle{ RaRRbR=RaRbR=0}\)

czyli:

wynika, że:

\(\displaystyle{ aRb=0 \Rightarrow a=0 \vee b=0}\)

[max123321]

No ok, początek w miarę rozumiem, w sensie, że to \(\displaystyle{ I,J}\) jest równe odpowiednio \(\displaystyle{ RaR}\) i \(\displaystyle{ RbR}\) i zakładamy, że \(\displaystyle{ IJ=0}\), więc \(\displaystyle{ RaRRbR=0}\), ale dlaczego \(\displaystyle{ RaRRbR=RaRbR}\)?